Çarpıklık katsayısı nedir? Temel özellikleri ve yorumlama

İstatistik Dersleri: Ders 52

Bir sınıftaki öğrencilerin çoğu yüksek not alırken birkaç öğrencinin çok düşük not aldığını düşünün. Başka bir sınıfta ise öğrencilerin çoğu düşük not almış, yalnızca birkaç kişi yüksek puana ulaşmış olsun. Bu iki dağılımın farkını anlamak için ortalamaya bakmak yeterli değildir. Çarpıklık katsayısı, değerlerin dağılımındaki bu asimetriyi sayısal olarak incelememizi sağlar.

https://youtu.be/q7ymlx52twk

Çarpıklık katsayısı neyi gösterir?

Çarpıklık katsayısı, bir dağılımın asimetrisini değerlendirmek için kullanılan istatistiksel bir ölçüdür. İngilizce kaynaklarda ve analiz programlarında “skewness” adıyla karşımıza çıkar. Katsayının işareti çarpıklığın yönü, mutlak büyüklüğü ise kullanılan ölçü bakımından derecesi hakkında bilgi verir. Yorum yapılırken katsayının yanında dağılım grafiğini de incelemek gerekir.

Pozitif çarpıklık, genel olarak dağılımın sağ kuyruğunun; negatif çarpıklık ise sol kuyruğunun daha belirgin olmasıyla ilişkilidir. Buradaki yön, gözlemlerin çoğunluğunun bulunduğu tarafla karıştırılmamalıdır. Örneğin sağa çarpık bir dağılımda gözlemler düşük değerlerde toplanırken az sayıdaki yüksek değer sağ kuyruğu oluşturabilir. Bu ayrım, NIST’in çarpıklık açıklamasında da kullanılan temel yorumdur.

Çarpıklık katsayısı	Temel yorum
Pozitif	Sağa çarpıklığa işaret eder.
Negatif	Sola çarpıklığa işaret eder.
Sıfır veya sıfıra yakın	Bu ölçüye göre çarpıklık yoktur veya düşüktür; tek başına normal dağılımı kanıtlamaz.

Sağa ve sola çarpık dağılım örnekleri

Gelir dağılımı, sağa çarpıklığı açıklamak için kullanılabilecek bir örnektir. İncelenen grupta kişilerin çoğu birbirine yakın gelir elde ederken birkaç kişinin geliri çok yüksek olabilir. Bu yüksek değerler dağılımın sağ tarafını uzatır ve ortalamayı yukarı çekebilir. Dolayısıyla sağa çarpıklık, grubun çoğunluğunun yüksek gelirli olduğu anlamına gelmez.

Kolay bir sınavın sonuçları ise sola çarpıklığa örnek oluşturabilir. Öğrencilerin çoğu yüksek puan alırken az sayıdaki düşük puan dağılımın sol tarafını uzatabilir. Bu düşük değerler ortalamayı aşağı çekebilir. Ancak bir sınavın kolay olması tek başına dağılımın sola çarpık olacağını garanti etmez; yorum, gerçekleşen puan dağılımına dayanmalıdır.

Çarpıklık ile ortalama, ortanca ve mod arasındaki ilişki

Ortalama, uç değerlerden etkilenebildiği için dağılımın uzayan kuyruğu yönünde hareket edebilir. Bu nedenle alışılmış tek tepeli sağa çarpık dağılımlarda “mod < ortanca < ortalama”, sola çarpık dağılımlarda ise “ortalama < ortanca < mod” sıralaması sık görülür. Ancak bu sıralamalar bütün veri setleri için geçerli birer matematik kuralı değildir. Özellikle birden fazla tepe içeren veya düzensiz dağılımlarda yalnızca bu üç değerin sırasına bakarak karar verilmemelidir.

Örneğin 1, 2, 3, 4 ve 9 değerlerinin ortalaması 3,8, ortancası ise 3’tür. Diğer gözlemlerden uzak olan 9 değeri, ortalamayı ortancanın üzerine taşımıştır. Bu veri setinde bütün değerler bir kez görüldüğünden tek bir mod bulunmaz. Buna rağmen çarpıklık katsayısı hesaplanabilir; dolayısıyla çarpıklığı incelemek için mutlaka bir mod bulunması gerekmez.

Çarpıklık katsayısı nasıl hesaplanır?

Çarpıklık için kullanılan birden fazla hesaplama yöntemi vardır. Yaygın yöntemlerden biri, ortalamadan sapmaların üçüncü kuvvetini dağılımın yayılımına göre standartlaştıran Fisher–Pearson katsayısıdır.

Bazı hesaplamalarda örneklem büyüklüğünü dikkate alan düzeltilmiş katsayı kullanılır. Bu nedenle aynı veri seti için farklı programlarda veya farklı seçeneklerle birbirinden farklı sonuçlar görülebilir. Sonuçları karşılaştırırken kullanılan katsayı tanımının aynı olup olmadığı kontrol edilmelidir. Düzeltilmiş ve düzeltilmemiş hesaplamalar arasındaki ayrım, SciPy’nin teknik açıklamasında formülleriyle gösterilmektedir.

Örnek üzerinden hesaplama

1, 2, 3, 4 ve 9 değerleri için ortalama 3,8’dir. Ortalamadan sapmaların karelerinin ortalaması 7,76, küplerinin ortalaması ise 22,464 olarak hesaplanır. Bu değerleri yukarıdaki formüle yerleştirdiğimizde 22,464/7,763/222,464 / 7,76^{3/2} işleminin sonucu yaklaşık 1,04 olur. Pozitif sonuç, bu örnekte yüksek taraftaki 9 değerinin oluşturduğu sağa çarpıklıkla uyumludur.

Veri seti	Ortalama	Çarpıklık katsayısı g1g_1	Yorum
1, 2, 3, 4, 5	3,00	0,00	Değerler merkez çevresinde simetriktir.
0, 1, 3, 4, 5	2,60	−0,16	Negatif yönde düşük bir çarpıklık vardır.
1, 2, 3, 4, 9	3,80	1,04	Pozitif çarpıklık vardır.

Tablodaki sonuçlar, yukarıda verilen düzeltilmemiş formülle hesaplanmıştır. Son örnekte örneklem büyüklüğüne göre düzeltilmiş Fisher–Pearson katsayısı kullanılırsa sonuç yaklaşık 1,55 olur. Bu fark, hesaplamalardan birinin mutlaka hatalı olduğu anlamına gelmez. Özellikle küçük veri setlerinde kullanılan formülü belirtmek, örneğin yeniden hesaplanabilmesini sağlar.

Çarpıklık katsayısının temel özellikleri nelerdir?

Çarpıklık katsayısı birimsizdir; gelir için lira, uzunluk için santimetre gibi bir ölçü birimi taşımaz. Bütün gözlemlere aynı sabitin eklenmesi veya gözlemlerin pozitif bir sabitle çarpılması, yukarıdaki katsayıyı değiştirmez. Örneğin uzunlukların santimetreden metreye çevrilmesi dağılımın çarpıklığını değiştirmez. Değerler negatif bir sabitle çarpılırsa dağılımın yönü tersine döner ve katsayının işareti değişir.

Aynı yöntemle hesaplanan katsayılar karşılaştırıldığında mutlak değerin büyümesi, ölçülen çarpıklığın artması anlamına gelir. Örneğin −1,20, −0,30’a göre sıfırdan daha uzaktır ve negatif yönde daha yüksek çarpıklık gösterir. Katsayı −1 ile +1 arasında sınırlı değildir; bu aralığın dışında değerler alabilir. Bütün gözlemler birbirine eşitse yayılım sıfır olduğu için bu formülle çarpıklık hesaplanamaz.

Çarpıklık katsayısı kaç olmalı? Normal dağılımı gösterir mi?

Çarpıklık katsayısının sıfıra yakın olması, normal dağılım değerlendirmesinde yararlı bir bulgudur. Ancak çarpıklığın sıfır olması, dağılımın normal olduğunu göstermez. Örneğin tabloda verilen 1, 2, 3, 4 ve 5 değerleri simetriktir; buna bakarak verilerin normal bir dağılımdan geldiği sonucuna ulaşamayız. Ayrıca sıfır çarpıklık, bütün olası dağılımlarda kusursuz simetriyi garanti etmez.

“Çarpıklık −1 ile +1 arasındaysa normal dağılım vardır” biçimindeki kesin bir yorumdan kaçınılmalıdır. Kullanılan eşikler, dayandıkları kaynak ve uygulanacak analiz bağlamında değerlendirilmelidir. Histogram, Q–Q grafiği, örneklem büyüklüğü, uç değerler ve ilgili analiz varsayımları birlikte incelenmelidir. Çarpıklığın yanında değerlendirilen diğer ölçüyü öğrenmek için basıklık katsayısı nedir? yazımıza geçebilirsiniz.

Çarpıklık sonucu analiz kararında nasıl kullanılır?

Bir ölçek puanının çarpıklık katsayısı yüksek çıktığında önce puanın nasıl hesaplandığı incelenmelidir. Ters maddelerin yanlış kodlanması, eksik veri kodlarının gerçek puan gibi işleme alınması veya veri giriş hataları dağılımı etkileyebilir. Bunun yanında gözlenen çarpıklık, araştırılan özelliğin doğal yapısından da kaynaklanabilir. Bu nedenle yalnızca katsayıyı düşürmek amacıyla gözlem silmek uygun bir çözüm değildir.

Veri kontrolünün ardından uygulanacak yöntemin varsayımları değerlendirilir. Test seçimi; araştırma sorusuna, ölçüm düzeyine, grupların yapısına ve diğer varsayımlara da bağlıdır. Verilerinizin incelenmesi, uygun testlerin seçilmesi ve sonuçların açıklanması konusunda SPSS analizi danışmanlığı hizmetimizden destek alabilirsiniz. Hizmet kapsamında veri düzenleme, analiz ve bulguların raporlanması aşamaları araştırmanızın ihtiyacına göre ele alınır.

Çarpıklık katsayısı tezde nasıl yorumlanır?

Tezde çarpıklık sonucunu yazarken önce hangi değişkenin değerlendirildiği ve elde edilen katsayı belirtilmelidir. Örneğin “Yaşam doyumu toplam puanının çarpıklık katsayısı −0,42 olarak hesaplanmıştır” ifadesi sayısal bulguyu açıkça aktarır. Ardından dağılımın negatif yönde çarpıklık gösterdiği açıklanabilir ve incelenen grafiklerle diğer bulgular raporlanabilir. Yalnızca bu değerden hareketle “veriler normal dağılmaktadır” sonucuna geçilmemelidir.

Mevcut raporunuzda çarpıklık, normallik değerlendirmesi ve kullanılan testler arasında tutarsızlık olduğunu düşünüyorsanız analiz kontrolü ve istatistiksel revizyon hizmetimizin kapsamını inceleyebilirsiniz. Bu süreçte veri dosyası, analiz çıktıları, tablolar ve bulgu yorumları birlikte değerlendirilir. Danışmanınızın veya hakemin istediği düzeltmeler de incelemeye dahil edilebilir. Böylece gerekli değişiklikler, raporun dayandığı analizlerle birlikte ele alınır.