Merkezi eğilim ölçüleri nelerdir? Ortalama, medyan ve mod
Güncelleme tarihi: 12 Eyl
İstatistik Dersleri: Ders 35
Merkezi eğilim ölçüleri, bir veri grubunun merkezini veya tipik değerini özetlemek için kullanılan istatistiksel ölçülerdir. En yaygın kullanılanları aritmetik ortalama, medyan (ortanca) ve moddur (tepe değer). Bu üç ölçü aynı veriler için farklı sonuçlar verebilir; çünkü her biri verinin merkezini farklı biçimde tanımlar.
Örneğin bir grubun gelirlerini, öğrencilerin sınav puanlarını veya bir hizmet için bekleme sürelerini tek bir değerle özetlemek isteyebiliriz. Ancak yalnızca ortalamayı hesaplamak her zaman yeterli olmaz. Bu yazıda üç ölçüyü aynı veri grubu üzerinde hesaplayıp uç değerlerin sonuçları nasıl değiştirdiğini ve hangi durumda hangi ölçünün kullanılabileceğini açıklıyoruz.
Merkezi eğilim ölçüleri neyi gösterir?
Merkezi eğilim ölçüleri, çok sayıdaki gözlemi anlaşılır bir özetle ifade etmemizi sağlar. Aritmetik ortalama bütün değerlerin toplamına, medyan sıralamadaki orta konuma, mod ise tekrar sıklığına dayanır.
Ölçü | Diğer adı | Nasıl bulunur? |
Aritmetik ortalama | Ortalama | Değerlerin toplamı gözlem sayısına bölünür. |
Medyan | Ortanca | Veriler sıralanır ve ortadaki konum belirlenir. |
Mod | Tepe değer | En sık görülen değer veya kategori bulunur. |
Bu ölçüler verilerin ne kadar yayıldığını tek başına göstermez. Aynı ortalamaya sahip iki grubun değerleri birbirinden çok farklı olabilir. Bu nedenle merkezi eğilim ölçüleri, uygun yayılım ölçüleri ve grafiklerle birlikte değerlendirilmelidir.
Verilerin tablo ve grafiklerle özetlenmesini veri setlerinin betimlenmesi yazımızda inceleyebilirsiniz.
Ortalama, medyan ve mod nasıl hesaplanır?
Beş kişinin bir hizmet için bekleme sürelerinin dakika cinsinden şöyle olduğunu düşünelim:
2, 3, 3, 5, 7
Bu küçük örnekte aynı verilerden üç farklı merkezi eğilim ölçüsü hesaplayacağız.
Aritmetik ortalama
Bütün bekleme sürelerini toplar ve kişi sayısına böleriz:
Aritmetik ortalama = (2 + 3 + 3 + 5 + 7) / 5 = 4 dakika
Grubun ortalama bekleme süresi 4 dakikadır. Ancak hiç kimse tam olarak 4 dakika beklememiştir. Ortalama, veri grubunda mutlaka gözlenen bir değer olmak zorunda değildir.
Formül ve farklı hesaplama örnekleri için aritmetik ortalama nedir, nasıl hesaplanır? yazımıza bakabilirsiniz.
Medyan — ortanca
Veriler zaten küçükten büyüğe sıralanmıştır. Beş gözlem bulunduğundan ortadaki üçüncü değer medyandır:
2, 3, [3], 5, 7
Medyan = 3 dakika
Sayısal verilerde gözlem sayısı çiftse ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması alınır. Örneğin 2, 3, 5 ve 7 değerlerinin medyanı (3 + 5) / 2 = 4 olur.
Tek ve çift sayıda gözlem içeren örnekler için medyan nedir ve nasıl hesaplanır? yazımızı inceleyebilirsiniz.
Mod — tepe değer
Veri grubunda 3 değeri iki kez, diğer değerler birer kez görülmektedir. Dolayısıyla en sık karşılaşılan bekleme süresi:
Mod = 3 dakika
Mod yalnızca sayısal verilerde kullanılmaz. Örneğin bir ankette en çok seçilen ulaşım türü “otobüs” ise modal kategori otobüstür. Birden fazla değer aynı en yüksek sıklığa sahipse birden fazla mod bulunabilir.
Farklı veri gruplarında hesaplamayı mod nedir, nasıl bulunur? yazımızda görebilirsiniz.
Aynı veride neden farklı sonuçlar elde edilir?
Örneğimizde üç ölçünün sonuçları şöyledir:
Ölçü | Sonuç | Bekleme süreleri hakkında verdiği bilgi |
Aritmetik ortalama | 4 dakika | Toplam bekleme süresinin kişi sayısına bölümü |
Medyan | 3 dakika | Sıralanmış sürelerin ortasındaki değer |
Mod | 3 dakika | En sık görülen süre |
Bu sonuçların farklı olması hesaplama hatası değildir. Ortalama bütün sürelerin büyüklüğünü hesaba katarken medyan sıralamadaki konuma, mod ise sıklığa dayanır. Bu nedenle hangi ölçünün daha yararlı olduğu, cevaplamak istediğimiz soruya bağlıdır.
Uç değerler merkezi eğilim ölçülerini nasıl etkiler?
Şimdi aynı örnekte son kişinin 7 dakika yerine 47 dakika beklediğini düşünelim:
2, 3, 3, 5, 47
Yeni aritmetik ortalama:
(2 + 3 + 3 + 5 + 47) / 5 = 12 dakika
olarak hesaplanır. Ortadaki değer ve en sık görülen değer ise hâlâ 3’tür.
Veri grubu | Ortalama | Medyan | Mod |
2, 3, 3, 5, 7 | 4 | 3 | 3 |
2, 3, 3, 5, 47 | 12 | 3 | 3 |
Tek bir yüksek değer ortalamayı 4’ten 12’ye çıkarmıştır. Oysa beş kişiden dördü 5 dakika veya daha az beklemiştir. Bu grupta tipik kişinin bekleme deneyimini anlatmak için medyan daha açıklayıcı olabilir.
Bununla birlikte ortalama yanlış hesaplanmış değildir. Toplam bekleme yükünü kişi başına ifade etmek istiyorsak ortalama da anlamlı bir bilgidir. Önemli olan, ölçüyü araştırma sorusuna uygun seçmektir.
Medyan uç değerlerin büyüklüğüne karşı ortalamadan daha dayanıklıdır; fakat her veri değişiminde sabit kalacağı söylenemez. Sıralamanın orta kısmı değiştiğinde medyan da değişebilir. Merkezi ölçüler ve uç değerler arasındaki ilişki NIST’in açıklamasında ele alınmaktadır.
Hangi merkezi eğilim ölçüsü ne zaman kullanılmalı?
Amaç veya veri yapısı | Değerlendirilebilecek ölçü |
Bütün sayısal değerleri hesaba katan bir özet elde etmek | Aritmetik ortalama |
Uç değerlerin bulunduğu veya belirgin çarpıklık gösteren veride ortadaki konumu belirtmek | Medyan |
En sık görülen değeri veya kategoriyi belirlemek | Mod |
Nominal kategorilerde en yaygın seçeneği göstermek | Mod |
Sıralı kategorilerde orta konumu veya en sık yanıtı göstermek | Medyan kategorisi ve/veya mod |
Ölçme düzeyi de seçimi sınırlar. Örneğin kan gruplarına 1, 2, 3 ve 4 kodlarını vermek, bu kodların aritmetik ortalamasını anlamlı bir kan grubu özeti yapmaz. Sayılar burada yalnızca kategori etiketidir.
Benzer şekilde sıralı kategorilerde iki kategori kodunun ortalamasını almak, her zaman anlamlı bir kategori üretmez. Veri türleri hakkında nominal, ordinal, aralık ve oranlı ölçüm düzeyleri yazımızdan yararlanabilirsiniz.
Duyarlı ve duyarlı olmayan ortalamalar ne demektir?
Bazı istatistik kaynaklarında merkezi eğilim ölçüleri, gözlem değerlerindeki değişikliklere duyarlılıkları bakımından sınıflandırılır. Aritmetik ortalama, bütün gözlemlerin sayısal büyüklüklerinden etkilendiği için duyarlı bir ölçüdür. Diğer değerler sabitken tek bir değerin değişmesi ortalamayı değiştirir.
Medyan ve mod ise bu sınıflamada duyarlı olmayan ölçüler arasında sayılır. Ancak bu ifade “veriler değişse de sonuç hiç değişmez” anlamına gelmez. Medyan orta konumdaki değerlere, mod ise frekans dağılımına bağlı olarak değişebilir. Yukarıdaki örnekte değişmemelerinin nedeni, yapılan değişikliğin bu özellikleri etkilememesidir.
Merkezi eğilim ile merkezi dağılım ölçüleri arasındaki fark nedir?
Merkezi eğilim ölçüleri verinin merkezini veya tipik değerini; yayılım ölçüleri ise gözlemlerin ne kadar dağıldığını özetler. Aritmetik ortalama, medyan ve mod merkezi eğilim ölçüleridir. Standart sapma, varyans, ranj ve çeyrekler arası açıklık ise yayılımı değerlendirmede kullanılır.
Örneğin aşağıdaki iki grubun aritmetik ortalaması 10’dur:
A grubu: 9, 10, 11
B grubu: 0, 10, 20
Ortalamaları aynı olmasına rağmen B grubundaki değerler daha geniş bir aralığa yayılmıştır. Bu nedenle araştırmalarda ortalama çoğunlukla standart sapmayla, medyan ise çeyrekler arası açıklık gibi uygun bir yayılım ölçüsüyle birlikte sunulur.
Ortalamadan uzaklıkların nasıl özetlendiğini görmek için ortalama mutlak sapma hesaplama yazımızı inceleyebilirsiniz.
Araştırmanızda uygun ölçüleri nasıl belirleyebilirsiniz?
Tez veya makalenizde hangi betimsel istatistikleri sunacağınız, değişkenlerin ölçme düzeyine, dağılımına ve araştırma amacınıza bağlıdır. Her sayısal değişkene yalnızca ortalama yazmak veya normallik testinin sonucuna bakarak bütün kararları vermek yeterli değildir.
Veri kontrolü, uygun özet ölçülerin seçilmesi ve sonuçların açıklanması için SPSS analizi danışmanlığı hizmetimizden yararlanabilirsiniz. Daha önce hazırlanmış tablolarınızın ve yorumlarınızın uygunluğunu değerlendirmek için analiz kontrolü ve istatistiksel revizyon sayfamızı inceleyebilir, ihtiyacınızı danışmanlık talep formundan iletebilirsiniz.
