Aritmetik ortalama nedir? Nasıl hesaplanır? Formülü ve örnekleri
Güncelleme tarihi: 6 saat önce
İstatistik Dersleri: Ders 36
Aritmetik ortalama, günlük yaşamdan bilimsel araştırmalara kadar en sık karşılaşılan istatistiksel ölçülerden biridir. Bir sınıftaki öğrencilerin sınav puanlarının, bir bölgedeki sıcaklık değerlerinin veya araştırmaya katılan kişilerin yaşlarının ortalamasından söz edildiğinde çoğunlukla kastedilen değer aritmetik ortalamadır.
Aritmetik ortalama, bir veri setindeki bütün değerlerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Ancak ortalama yalnızca bir hesaplama işlemi değildir; verilerin hangi değer çevresinde toplandığını gösteren temel merkezi eğilim ölçülerinden biridir. Bununla birlikte veri setinde çok büyük veya çok küçük uç değerlerin bulunması, aritmetik ortalamanın veri setini temsil etme gücünü etkileyebilir.
Bu yazıda aritmetik ortalama nedir, nasıl hesaplanır, formülü nedir ve nasıl yorumlanır sorularını farklı örnekler üzerinden ele alacağız. Ayrıca frekans tablosundan aritmetik ortalama hesaplamayı, aritmetik ortalamanın temel özelliklerini ve medyan ile mod arasındaki farkları inceleyeceğiz.
Aritmetik ortalama nedir?
Aritmetik ortalama, bir veri grubundaki bütün değerlerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle elde edilen merkezi eğilim ölçüsüdür. Veri setinin genel düzeyini tek bir değerle özetlememize yardımcı olur.
Örneğin beş öğrencinin sınav puanları:
60, 70, 75, 80, 90
olsun.
Bu öğrencilerin toplam puanı 375'tir. Beş öğrenci bulunduğu için:
375 / 5 = 75
olarak hesaplanır. Dolayısıyla grubun aritmetik ortalaması 75'tir.
Aritmetik ortalama, medyan ve mod birlikte istatistikte merkezi eğilim ölçüleri olarak değerlendirilir. Bu kavramların genel mantığını Merkezi eğilim ölçüleri kavramı ne anlama gelir? başlıklı yazımızda ayrıca inceleyebilirsiniz.
Aritmetik ortalama neyi gösterir?
Aritmetik ortalama, veri setinin merkezi hakkında tek bir özet değer verir. Ancak bu değerin veri setindeki bütün gözlemlerin sahip olduğu ortak bir değer olduğu düşünülmemelidir.
Örneğin:
10, 20, 30, 40, 50
verilerinin aritmetik ortalaması 30'dur. Bu örnekte 30 aynı zamanda veri setinde bulunan bir değerdir.
Buna karşılık:
10, 20, 30, 40
verilerinin aritmetik ortalaması 25'tir. Veri setinde 25 bulunmamasına rağmen grubun aritmetik ortalaması 25 olabilir.
Dolayısıyla aritmetik ortalamanın veri setindeki gözlemlerden biri olması gerekmez. Ortalama, bütün değerleri dikkate alarak veri setinin merkezini sayısal olarak özetler.
Aritmetik ortalama nasıl hesaplanır?
Aritmetik ortalama hesaplamak için iki temel işlem yapılır:
Veri setindeki bütün değerler toplanır.
Elde edilen toplam, veri sayısına bölünür.
Örneğin:
8, 10, 12, 14, 16
verilerinin toplamı:
8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60
Veri sayısı 5 olduğundan:
60 / 5 = 12
bulunur.
Bu veri setinin aritmetik ortalaması 12'dir.
Aritmetik ortalama formülü nedir?
Aritmetik ortalamanın temel formülü şöyledir:
x̄ = Σx / n
Burada:
x̄: aritmetik ortalama,
Σ: toplama işareti,
x: veri setindeki değerler,
n: toplam veri sayısıdır.
Örneğin:
4, 6, 8, 10, 12
verileri için:
Σx = 40
ve:
n = 5
olduğundan:
x̄ = 40 / 5 = 8
olarak hesaplanır.
Bir örneklem için ortalama genellikle x̄, evren ortalaması ise μ (mü) sembolüyle gösterilir.
Aritmetik ortalama hesaplama örneği
Daha kapsamlı bir örnek üzerinden ilerleyelim. Bir öğrencinin beş sınavdan aldığı puanlar:
65, 72, 78, 80, 90
olsun.
Öncelikle puanları toplarız:
65 + 72 + 78 + 80 + 90 = 385
Toplam beş sınav bulunduğundan:
385 / 5 = 77
öğrencinin sınav puanlarının aritmetik ortalaması 77 olarak bulunur.
Buradaki önemli nokta, her puanın hesaplamaya dâhil edilmesidir. Aritmetik ortalamanın uç değerlerden etkilenmesinin temel nedeni de budur.
Frekans tablosundan aritmetik ortalama nasıl hesaplanır?
Aynı değerin birden fazla kez tekrarlandığı veri setlerinde her gözlemi ayrı ayrı yazmak yerine frekans tablosu kullanılabilir.
Örneğin bir sınıftaki sınav puanlarının dağılımı şöyle olsun:
Puan (x) | Frekans (f) | x × f |
40 | 2 | 80 |
50 | 4 | 200 |
60 | 6 | 360 |
70 | 5 | 350 |
80 | 3 | 240 |
Toplam | 20 | 1230 |
Frekans tablosunda aritmetik ortalama:
x̄ = Σ(fx) / Σf
formülüyle hesaplanabilir.
Buna göre:
x̄ = 1230 / 20 = 61,5
olur.
Sınıfın sınav puanı ortalaması 61,5'tir.
Bu yöntem özellikle gözlem sayısının fazla olduğu veri setlerinde her değeri tek tek toplamak yerine daha pratik bir hesaplama sağlar.
Gruplandırılmış verilerde aritmetik ortalama nasıl hesaplanır?
Veriler belirli sınıf aralıkları hâlinde verilmişse her grubun sınıf orta noktası kullanılarak yaklaşık aritmetik ortalama hesaplanabilir.
Örneğin:
Puan aralığı | Frekans | Sınıf orta noktası |
0–19 | 4 | 9,5 |
20–39 | 4 | 29,5 |
40–59 | 7 | 49,5 |
60–79 | 8 | 69,5 |
80–99 | 2 | 89,5 |
Her sınıfın orta noktası frekansıyla çarpılır ve elde edilen değerler toplanır. Daha sonra bu toplam toplam frekansa bölünür.
Burada önemli bir ayrım vardır: Ham veriler elimizde olmadığı için gruplandırılmış verilerden hesaplanan ortalama genellikle yaklaşık bir değerdir. Bu nedenle mümkün olduğunda ham veriler üzerinden hesaplanan aritmetik ortalama daha kesin bilgi verir.
Aritmetik ortalamanın temel özellikleri nelerdir?
Aritmetik ortalamanın diğer merkezi eğilim ölçülerinden ayrılmasını sağlayan bazı önemli özellikleri bulunmaktadır.
Her şeyden önce veri setindeki bütün gözlemler hesaplamaya katılır. Bir gözlemde meydana gelen değişiklik aritmetik ortalamayı da etkileyebilir.
Ayrıca gözlemlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfırdır:
Σ(x − x̄) = 0
Aritmetik ortalama veri setindeki en küçük ve en büyük değer arasında bulunur. Ancak hesaplanan ortalamanın veri setinde gerçekten gözlenen değerlerden biri olması gerekmez.
Aritmetik ortalamanın diğer matematiksel özelliklerini daha ayrıntılı ele aldığımız Aritmetik ortalamanın temel özellikleri yazımızı da bu konunun devamı olarak inceleyebilirsiniz.
Aritmetik ortalama uç değerlerden etkilenir mi?
Evet. Aritmetik ortalamanın en önemli özelliklerinden biri uç değerlere duyarlı olmasıdır.
Örneğin beş kişinin aylık gelirinin:
30.000, 32.000, 34.000, 36.000, 38.000 TL
olduğunu düşünelim.
Aritmetik ortalama:
34.000 TL
olur.
Şimdi son kişinin gelirinin 38.000 TL yerine 300.000 TL olduğunu varsayalım:
30.000, 32.000, 34.000, 36.000, 300.000
Bu durumda ortalama:
86.400 TL
olur.
Oysa gruptaki beş kişiden dördünün geliri 36.000 TL veya altındadır. Tek bir yüksek değer aritmetik ortalamayı önemli ölçüde yukarı çekmiştir.
Bu tür dağılımlarda medyan (ortanca), veri setinin merkezini aritmetik ortalamadan daha iyi temsil edebilir.
Aritmetik ortalama, medyan ve mod arasındaki fark nedir?
Aritmetik ortalama, medyan ve mod bir veri setinin merkezini farklı biçimlerde tanımlar.
Aritmetik ortalama, bütün değerlerin toplamının gözlem sayısına bölünmesiyle hesaplanır.
Medyan, küçükten büyüğe sıralanmış veri setinin ortasında bulunan değerdir.
Mod, veri setinde en sık tekrarlanan değerdir.
Örneğin:
2, 3, 3, 4, 18
veri setini ele alalım.
Aritmetik ortalama:
(2 + 3 + 3 + 4 + 18) / 5 = 6
Medyan:
3
Mod:
3
olarak bulunur.
18 değeri aritmetik ortalamayı yukarı çekmiş, buna karşılık medyan ve mod daha az etkilenmiştir. Bu nedenle hangi merkezi eğilim ölçüsünün kullanılacağına karar verirken veri dağılımının yapısının dikkate alınması gerekir.
Medyan nedir ve nasıl hesaplanır? ve Mod nedir? Mod nasıl bulunur? yazılarımızda diğer iki merkezi eğilim ölçüsünü örneklerle ayrıntılı olarak ele alıyoruz.
Aritmetik ortalama ile standart sapma arasındaki ilişki nedir?
Aritmetik ortalama veri setinin merkezini, standart sapma ise değerlerin bu merkez çevresinde ne kadar yayıldığını gösterir.
Örneğin:
A: 48, 49, 50, 51, 52B: 30, 40, 50, 60, 70
iki veri setinin de aritmetik ortalaması 50'dir. Ancak B grubundaki değerler ortalamadan çok daha uzaktadır.
Dolayısıyla iki grubun ortalaması aynı olmasına rağmen dağılımları farklıdır. Bu nedenle araştırmalarda aritmetik ortalama çoğu zaman standart sapmayla birlikte raporlanır.
Yayılımın nasıl değerlendirildiğini Standart sapma nedir? Nasıl hesaplanır? yazımızdan inceleyebilirsiniz. Standart sapmanın matematiksel temelini oluşturan varyans için ise Varyans nedir? Nasıl hesaplanır? içeriğimize geçebilirsiniz.
Aritmetik ortalama ne zaman kullanılır?
Aritmetik ortalama özellikle nicel verilerin merkezi eğilimini özetlemek için kullanılır. Ancak her değişken için aritmetik ortalama hesaplamak anlamlı değildir.
Örneğin yaş, boy, ağırlık, sınav puanı veya ölçek toplam puanı gibi uygun sayısal değişkenlerde aritmetik ortalama kullanılabilir. Buna karşılık cinsiyet, medeni durum, bölüm veya kan grubu gibi kategorik değişkenlerin sayılarla kodlanmış olması, bu kodların aritmetik ortalamasını anlamlı hâle getirmez.
Örneğin kadın = 1 ve erkek = 2 biçiminde kodlanan bir değişken için 1,47 gibi bir ortalama hesaplanabilse bile bu değer “ortalama cinsiyet” şeklinde yorumlanamaz.
Bu nedenle hangi istatistiğin kullanılacağına karar verirken değişkenlerin ölçme düzeyi ve veri yapısı dikkate alınmalıdır.
SPSS'te aritmetik ortalama nasıl bulunur?
SPSS'te aritmetik ortalama farklı menülerden elde edilebilir. Temel betimsel istatistikler için en kolay yollardan biri:
Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives
adımlarını izlemektir.
Ortalamayı hesaplamak istediğiniz sayısal değişkeni ilgili alana taşıdıktan sonra analizi çalıştırdığınızda SPSS çıktısında Mean sütunu aritmetik ortalamayı gösterir. Aynı tabloda standart sapma, minimum ve maksimum gibi başka betimsel istatistikler de elde edilebilir.
SPSS'i yeni kullanmaya başlayanlar veya veri girişinden analiz aşamasına kadar süreci öğrenmek isteyenler Sıfırdan SPSS Dersleri bölümümüzden diğer uygulamalara da ulaşabilir.
Aritmetik ortalama araştırmalarda nasıl raporlanır?
Nicel araştırmalarda aritmetik ortalama çoğu zaman standart sapmayla birlikte raporlanır. Örneğin bir araştırmadaki katılımcıların yaşları için:
Ort. = 32,46; SS = 7,18
şeklinde bir gösterim kullanılabilir.
Bu sonuç katılımcıların yaş ortalamasının 32,46 olduğunu, standart sapmanın ise 7,18 olduğunu gösterir.
Tablolarda kullanılacak kısaltmalar çalışmanın yazım kurallarına veya hedef derginin biçimine göre değişebilir. Bu nedenle tez veya makale hazırlanırken yalnızca hesaplanan değerlerin değil, bunların uygun biçimde raporlanmasının da dikkate alınması gerekir.
Araştırmanızdaki betimsel ve ileri istatistiksel analizlerin belirlenmesi, SPSS analizlerinin yürütülmesi veya sonuçların açıklanması konusunda desteğe ihtiyaç duyuyorsanız İstatistiksel analiz danışmanlığı sayfamızdan hizmet kapsamını inceleyebilirsiniz.
Aritmetik ortalamayla ilgili sık sorulan sorular
Aritmetik ortalama nasıl bulunur?
Veri setindeki bütün değerler toplanır ve elde edilen toplam veri sayısına bölünür.
Aritmetik ortalama formülü nedir?
Temel formül x̄ = Σx / n şeklindedir. Burada Σx değerlerin toplamını, n ise gözlem sayısını gösterir.
Aritmetik ortalama negatif olabilir mi?
Evet. Veri setindeki değerlerin yapısına bağlı olarak aritmetik ortalama negatif, sıfır veya pozitif olabilir.
Aritmetik ortalama veri setinde bulunmak zorunda mıdır?
Hayır. Örneğin 10 ve 20 değerlerinin aritmetik ortalaması 15'tir; ancak veri setinde 15 bulunmamaktadır.
Aritmetik ortalama uç değerlerden etkilenir mi?
Evet. Çok büyük veya çok küçük gözlemler aritmetik ortalamayı önemli ölçüde değiştirebilir. Bu nedenle uç değerlerin bulunduğu çarpık dağılımlarda medyanın da değerlendirilmesi yararlı olabilir.
Ortalama ile aritmetik ortalama aynı şey midir?
Günlük kullanımda “ortalama” denildiğinde çoğunlukla aritmetik ortalama kastedilir. Ancak istatistikte geometrik ortalama ve harmonik ortalama gibi başka ortalama türleri de bulunmaktadır. Bu nedenle teknik bir metinde hangi ortalamanın kullanıldığı açıkça belirtilmelidir.
Aritmetik ortalama mı medyan mı kullanılmalıdır?
Bu karar veri yapısına bağlıdır. Aritmetik ortalama bütün gözlemleri hesaba kattığı için uygun dağılımlarda oldukça bilgi vericidir. Ancak belirgin uç değerlerin veya güçlü çarpıklığın bulunduğu durumlarda medyan merkezi eğilimi daha iyi temsil edebilir.
Sonuç
Aritmetik ortalama, bir veri setindeki bütün değerleri dikkate alarak verilerin merkezi eğilimini tek bir sayı ile özetleyen temel istatistiksel ölçülerden biridir. Hesaplanması kolaydır: değerler toplanır ve toplam gözlem sayısına bölünür. Bununla birlikte doğru yorumlanması, yalnızca formülü bilmekten daha fazlasını gerektirir.
Özellikle uç değerlerin bulunduğu veya dağılımın belirgin biçimde çarpık olduğu veri setlerinde aritmetik ortalama tek başına yeterli olmayabilir. Böyle durumlarda medyan ve mod gibi diğer merkezi eğilim ölçülerinin yanı sıra standart sapma ve varyans gibi yayılım ölçülerinin de birlikte değerlendirilmesi, veri setinin daha doğru anlaşılmasını sağlar.
