Modun temel özellikleri nelerdir?
Güncelleme tarihi: 14 Eyl
İstatistik Dersleri: Ders 41
Modun temel özellikleri arasında sayısal ve sözel verilerde kullanılabilmesi, en sık görülen değeri göstermesi, bir veri setinde birden fazla mod bulunabilmesi ve uç değerlerin büyüklüğünden doğrudan etkilenmemesi yer alır. Türkçede tepe değer olarak da adlandırılan mod, bir veri setindeki en yüksek frekansa sahip değer veya kategoridir. Bu nedenle aritmetik ortalamadan farklı olarak değerlerin toplamına, medyandan farklı olarak da gözlemlerin sıralamadaki orta konumuna dayanmaz.
Bu yazıda modun nasıl hesaplandığını yeniden anlatmak yerine istatistiksel özellikleri, avantajları ve sınırlılıkları üzerinde duracağız. Modun farklı veri setlerinde nasıl bulunduğunu ve frekans tablolarından nasıl belirlendiğini görmek için önce Mod nedir? Tepe değer nasıl bulunur? başlıklı bir önceki dersimizi inceleyebilirsiniz.
Modun Temel Özellikleri
1. Mod hem sayısal hem de sözel verilerde kullanılabilir
Mod yalnızca sayılardan oluşan veri setlerinde kullanılan bir ölçü değildir. En sık görülen değer veya kategoriyi göstermesi nedeniyle renk, ulaşım türü, bölüm, medeni durum ve kan grubu gibi sözel ya da nominal değişkenlerde de kullanılabilir.
Örneğin bir grup öğrencinin en sevdiği müzik türlerine verdiği yanıtlar:
Pop, rock, pop, caz, pop, rock
şeklinde olsun. Pop üç kez, rock iki kez ve caz bir kez seçildiği için modal kategori poptur. Kategorilere herhangi bir sayısal değer vermeye gerek olmadan en sık tercih edilen yanıt belirlenebilir.
2. Mod nominal ölçüm düzeyinde kullanılabilen merkezi eğilim ölçüsüdür
Nominal değişkenlerin kategorileri arasında büyüklük veya sıra ilişkisi bulunmaz. Örneğin kan grupları A, B, AB ve 0 olarak sınıflandırılabilir; ancak bu kategorilerin aritmetik ortalamasını veya ortadaki sırasını hesaplamak anlamlı değildir. Buna karşılık örneklemde en sık görülen kan grubu mod olarak belirlenebilir.
Bu özellik, modu anketlerde ve kategorik araştırma sonuçlarında önemli bir özet ölçü hâline getirir. Ancak yalnızca modal kategorinin bildirilmesi çoğu zaman yeterli değildir. En sık görülen kategoriyle birlikte bütün kategorilerin sayı ve yüzdelerinin verilmesi, dağılımın daha doğru anlaşılmasını sağlar. IBM de kategorik değişkenlerde her kategorinin sayı ve yüzdesinin temel özet olduğunu ve en fazla gözleme sahip kategorinin mod olarak tanımlandığını belirtmektedir. IBM kategorik veriler için özet ölçüler.
3. Mod gözlem sıklığına dayanır
Mod hesaplanırken değerlerin büyüklüklerinden çok kaç kez görüldükleri dikkate alınır. Örneğin:
3, 3, 3, 10, 25, 100
veri setinde en küçük değerlerden biri olmasına rağmen 3 değeri üç kez tekrarlandığı için mod 3’tür. Sayısal olarak en büyük değerin mod olması gerekmez.
Bu özellik nedeniyle modla frekansın birbirinden ayrılması gerekir. Örnekte modal değer 3, modun frekansı ise 3’tür. Bu iki sayının tesadüfen aynı olması kavramların da aynı olduğu anlamına gelmez. Başka bir veri setinde modal değer 20 ve bu değerin frekansı 5 olabilir.
4. Mod veri setinde gerçekten gözlenen bir değerdir
Gruplandırılmamış bir veri setinde mod, gözlenen değerlerden veya kategorilerden biridir. Bu yönüyle aritmetik ortalamadan ayrılır; çünkü aritmetik ortalamanın veri setinde gerçekten bulunan bir değer olması gerekmez. Çift sayıda gözlem olduğunda medyan da ortadaki iki değerin ortalaması olarak hesaplandığı için veri setinde yer almayan bir sonuç verebilir.
Örneğin:
2, 2, 5, 9
veri setinde mod 2, medyan (2 + 5) / 2 = 3,5 ve aritmetik ortalama 4,5’tir. Mod veri setinde gözlenen bir değerken 3,5 ve 4,5 gözlemler arasında bulunmamaktadır.
Gruplandırılmış frekans tablolarında bu özelliğe dikkat edilmelidir. Ham değerler bilinmediği için yalnızca modal sınıf kesin olarak belirlenebilir; formülle hesaplanan veya sınıf orta noktasından elde edilen değer yaklaşık bir temsil değeridir.
5. Bir veri setinde tek mod bulunabilir
Bir değer diğer bütün değerlerden daha sık görülüyorsa veri seti tek modludur. Örneğin:
4, 6, 6, 6, 8, 9, 12
veri setinde 6 üç kez, diğer değerler birer kez görüldüğü için mod 6’dır. Bu tür dağılımlar unimodal veya tek modlu olarak adlandırılır.
Tek modun bulunması, o değerin dağılımda en sık karşılaşılan değer olduğunu gösterir. Ancak modun mutlaka veri setinin sayısal merkezinde bulunacağı veya örneklemi tek başına en iyi şekilde temsil edeceği söylenemez.
6. Bir veri setinde birden fazla mod bulunabilir
İki veya daha fazla değer aynı en yüksek frekansa sahipse veri setinin birden fazla modu vardır. Örneğin:
2, 2, 4, 5, 7, 7, 9
veri setinde 2 ve 7 değerleri ikişer kez, diğer değerler ise birer kez görülmektedir. Buna göre veri setinin modları 2 ve 7’dir ve dağılım iki modlu, yani bimodaldir.
İkiden fazla değerin aynı en yüksek frekansa sahip olduğu dağılımlar çok modlu veya multimodal olarak adlandırılabilir. Bir histogramda iki ya da daha fazla belirgin tepe görülmesi, örneklemde farklı alt grupların bulunabileceğini düşündürebilir. Örneğin öğrencilerin sınav puanlarındaki iki tepe, hazırlık düzeyleri farklı iki grubun varlığıyla ilişkili olabilir; ancak yalnızca tepe sayısına bakılarak böyle bir sonuca kesin olarak ulaşılamaz.
NIST de modun her zaman tek bir değerden oluşmadığını ve iki veya daha fazla tepenin veri yapısı hakkında önemli bilgiler sağlayabileceğini belirtmektedir. NIST konum ölçüleri.
7. Bazı veri setlerinde belirgin bir mod bulunmayabilir
Bütün değerlerin aynı sıklıkta gözlendiği veri setlerinde diğerlerinden daha sık görülen ayırt edici bir değer bulunmaz. Örneğin:
3, 5, 7, 8, 11, 14
veri setindeki bütün değerler birer kez görüldüğü için başlangıç düzeyindeki istatistik uygulamalarında bu dağılımın modu olmadığı ifade edilir. Araştırma raporunda “Belirgin bir modal değer bulunmamaktadır” açıklaması kullanılabilir.
Bu durum özellikle sürekli ölçümlerde sık görülür. Boy uzunluğu, ağırlık, tepki süresi veya laboratuvar değeri yeterince hassas ölçüldüğünde gözlemler birbirini tam olarak tekrar etmeyebilir. Bu nedenle sürekli verilerde ham değerlerden hesaplanan mod çoğu zaman merkezi eğilimi özetlemek için kullanışlı değildir.
8. Mod uç değerlerin büyüklüğünden doğrudan etkilenmez
Mod tekrar sıklığına dayandığı için tek bir uç gözlemin sayısal büyüklüğünün değiştirilmesi, frekans yapısı değişmiyorsa modu etkilemez. Aşağıdaki veri setini ele alalım:
10, 10, 10, 12, 15, 200
Bu veri setinin modu 10’dur. Son değer 200 yerine 2.000 veya 20.000 yapılsa bile 10 üç kez görülmeye devam ettiği için mod değişmez. Buna karşılık bütün gözlem değerlerini hesaplamaya katan aritmetik ortalama uç değer büyüdükçe yükselir.
Bu özellik “Uç değer bulunan her veri setinde mod en iyi merkezi eğilim ölçüsüdür” anlamına gelmez. Mod dağılımın merkezinden uzakta bulunabilir, sürekli verilerde hiç oluşmayabilir veya küçük frekans değişiklikleri sonucunda farklı bir değere geçebilir. Uç değerlerin bulunduğu sayısal verilerde medyan çoğu zaman merkezi konumu moddan daha anlamlı biçimde gösterebilir.
9. Mod değerlerin büyüklüğündeki değişimlere duyarlı değildir
Mod, gözlemlerin kaç kez görüldüğüne odaklandığı için modal olmayan bir değerin büyüklüğündeki değişiklik her zaman sonucu etkilemez. Örneğin:
4, 4, 4, 7, 9, 12
veri setinde mod 4’tür. Son değer 12’den 50’ye değiştirildiğinde 4 hâlâ üç kez tekrarlandığı için mod aynı kalır.
Bununla birlikte “Mod veri değişikliklerine karşı her zaman kararlıdır” demek doğru değildir. Değerlerin tekrar sıklıkları değiştiğinde mod kolayca değişebilir. Örneğin:
10, 10, 12, 12, 15
veri setinde 10 ve 12 eşit frekansa sahip iki moddur. Veri setine bir adet daha 12 eklendiğinde tek mod 12 olur. Dolayısıyla mod sayısal büyüklük değişikliklerine karşı duyarsız olabilirken frekans değişikliklerine karşı duyarlıdır.
10. Mod bütün gözlemlerin sayısal büyüklüğünü kullanmaz
Aritmetik ortalama hesaplanırken veri setindeki bütün gözlemlerin sayısal büyüklükleri sonuca katkıda bulunur. Mod ise yalnızca hangi değerin en yüksek frekansa sahip olduğunu belirler. Modal olmayan değerlerin büyüklükleri ve birbirlerine olan uzaklıkları mod hesabında doğrudan kullanılmaz.
Örneğin aşağıdaki iki veri setinin de modu 5’tir:
A grubu: 5, 5, 5, 6, 7
B grubu: 5, 5, 5, 50, 100
İki grubun yayılımı ve aritmetik ortalaması belirgin biçimde farklı olmasına rağmen modal değerleri aynıdır. Bu örnek, modun veri dağılımını tek başına açıklamak için yeterli olmadığını gösterir. Modla birlikte frekans tablosu, uygun merkezi eğilim ölçüleri ve yayılım göstergeleri de değerlendirilmelidir.
11. Mod sürekli verilerde her zaman kullanışlı değildir
Sürekli değişkenler çok sayıda farklı değer alabileceği için aynı değerin tam olarak tekrar etme olasılığı düşük olabilir. Örneğin hassas bir tartıyla ölçülen ağırlık değerleri 64,12; 64,37; 65,04 ve 65,81 kilogram şeklinde birbirinden farklı olabilir. Bu durumda ham veri setinin belirgin bir modu bulunmaz.
Sürekli dağılımlarda mod, histogram veya yoğunluk eğrisindeki en yüksek tepe üzerinden değerlendirilebilir. Ancak histogramın sınıf genişliği değiştirildiğinde en yüksek sütun ve görülen tepe sayısı da değişebilir. Bu nedenle sürekli verilerde modun hesaplanma ve yorumlanma yöntemi açıkça belirtilmelidir.
12. Mod veri dağılımındaki kümelenmeleri gösterebilir
Mod yalnızca en sık tekrarlanan tek bir değeri bulmak için kullanılmaz; dağılımdaki yoğunlaşma ve kümelenmelerin görülmesine de yardımcı olabilir. Özellikle histogramda iki veya daha fazla belirgin tepenin bulunması, verilerin tek bir homojen gruptan gelmediğini düşündürebilir.
Örneğin bir hizmetin tamamlanma süreleri hem 10 dakika hem de 35 dakika çevresinde yoğunlaşıyorsa kısa ve uzun işlemlerden oluşan iki ayrı süreç bulunabilir. Ancak bu yorumun doğrulanması için çalışma koşulları, grup değişkenleri ve veri toplama süreci ayrıca incelenmelidir. Çok modluluk önemli bir ipucu olabilir fakat tek başına alt grupların kanıtı değildir.
13. Mod cebirsel işlemlere elverişli değildir
Aritmetik ortalama, gözlem sayısı ve toplam değerle birlikte kullanılarak birleşik grupların ortalamalarının hesaplanmasına veya eksik bir değerin bulunmasına yardımcı olabilir. Mod için benzer bir cebirsel özellik yoktur. İki grubun modlarını bilmek, bu gruplar birleştirildiğinde oluşacak modun belirlenmesi için yeterli değildir.
Örneğin birinci grubun modu 10, ikinci grubun modu 20 olsa bile gruplar birleştirildiğinde modun 10, 20 veya başka bir değer olacağı yalnızca bu bilgilerden çıkarılamaz. Birleşik dağılımın bütün frekanslarının bilinmesi gerekir. Bu özellik, modun ileri istatistiksel hesaplamalarda aritmetik ortalamaya göre daha sınırlı kullanılmasının nedenlerinden biridir.
14. Mod örneklem büyüklüğü ve frekans yapısından etkilenebilir
Küçük örneklemlerde birkaç gözlemin eklenmesi veya çıkarılması modal değeri kolayca değiştirebilir. Örneğin yalnızca üç kişiye en sevdiği renk sorulduğunda iki kişinin mavi yanıtını vermesi, örneklemin modunu mavi yapar; ancak üç kişilik sonuç daha geniş bir topluluğun eğilimini güvenilir biçimde temsil etmeyebilir.
Örneklem büyüklüğünün artması modun mutlaka güvenilir olacağı anlamına gelmez; örnekleme yönteminin ve katılımcı yapısının da uygun olması gerekir. Modun yorumlanmasında yalnızca en sık görülen kategoriye değil, modal kategorinin toplam içindeki oranına ve diğer kategorilerle arasındaki frekans farkına da bakılmalıdır.
Modun avantajları nelerdir?
Modun en önemli avantajı kolay anlaşılması ve hem sayısal hem kategorik verilerde kullanılabilmesidir. Hesaplanması için gözlem değerlerinin toplanması, sıralanması veya belirli aralıklara sahip olması gerekmez. En sık görülen değerin bilinmesinin önemli olduğu pazar araştırmaları, anketler, stok planlaması ve tercih araştırmalarında doğrudan yorumlanabilir bir sonuç sunar.
Mod ayrıca tek bir uç değerin büyüklüğünden etkilenmez ve frekans tablosu ya da sütun grafiği üzerinden kolaylıkla belirlenebilir. Ayakkabı numarası, ürün bedeni veya en çok tercih edilen seçenek gibi uygulamalarda ortalama bir değerden daha işlevsel olabilir. Örneğin bir mağazanın en fazla satılan ayakkabı numarasını bilmesi, ortalama ayakkabı numarasını bilmesinden daha yararlı olabilir.
Modun sınırlılıkları nelerdir?
Mod bütün gözlemlerin büyüklüğünü kullanmadığı için veri seti hakkında sınırlı bilgi verir. Bazı veri setlerinde mod bulunmayabilir, bazı dağılımlarda ise birden fazla mod ortaya çıkabilir. Küçük frekans değişiklikleri modal değeri değiştirebildiğinden örneklemden örnekleme kararsızlık gösterebilir.
Sürekli verilerde gözlem değerlerinin tekrar etmemesi ve histogram sonucunun seçilen sınıf genişliğine bağlı olması da önemli sınırlılıklardır. Ayrıca modun cebirsel işlemlerde kullanımı kısıtlıdır ve tek başına dağılımın merkezini veya yayılımını açıklamaz. Bu nedenle modun araştırma amacına uygunluğu değerlendirilerek diğer betimsel istatistiklerle birlikte sunulması gerekir.
Mod hakkında doğru bilinen yanlışlar
Yaygın ifade | Doğru değerlendirme |
Mod veri setindeki en büyük değerdir | Mod, en büyük değil en sık görülen değerdir |
Her veri setinin bir modu vardır | Belirgin bir modu bulunmayan veri setleri olabilir |
Bir veri setinde yalnızca bir mod bulunur | İki veya daha fazla mod bulunabilir |
Uç değerler modu hiçbir şekilde etkilemez | Uç değerin büyüklüğü etkilemez; tekrar sıklığı değişirse mod değişebilir |
Mod her zaman dağılımın merkezini gösterir | En sık değer merkezden uzakta bulunabilir |
SPSS bütün modları otomatik gösterir | SPSS birden fazla moddan yalnızca birini gösterebilir |
Modal sınıfın orta noktası kesin moddur | Orta nokta yalnızca yaklaşık bir temsil değeri olabilir |
Mod SPSS çıktısında nasıl değerlendirilir?
SPSS’te Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies > Statistics > Mode yolu izlenerek mod hesaplanabilir. Ancak birden fazla değer aynı en yüksek frekansa sahipse SPSS yalnızca modlardan birini gösterip dipnotla birden fazla mod bulunduğunu belirtebilir. IBM’in FREQUENCIES komutu açıklamasında da birden fazla mod olması durumunda yalnızca ilk modun gösterildiği ifade edilmektedir. IBM SPSS FREQUENCIES.
Bu nedenle mod değerlendirilirken yalnızca Statistics tablosundaki tek sayıya bakılmamalıdır. Frekans tablosu incelenerek aynı en yüksek frekansa sahip başka değerlerin bulunup bulunmadığı kontrol edilmelidir. Özellikle kategorik verilerde modal kategori sayı ve yüzdesiyle birlikte raporlanmalıdır.
Araştırmalarda mod nasıl yorumlanmalıdır?
Mod, araştırma grubunda en sık gözlenen değeri veya kategoriyi gösterir; ancak bu sonuç evrende de aynı değerin en yaygın olduğunu tek başına kanıtlamaz. Yorum, araştırmanın örnekleme yöntemi ve katılımcı özellikleriyle sınırlandırılmalıdır. Örneğin “Katılımcılar arasında en sık tercih edilen ulaşım türü otobüstür” ifadesi uygunken, yalnızca sınırlı bir örnekleme dayanarak “Toplumun tercih ettiği ulaşım türü otobüstür” sonucuna ulaşmak doğru olmayabilir.
Modal kategori diğer kategorilerden yalnızca çok küçük bir farkla öndeyse bu durum da belirtilmelidir. Yüzde 26 oranındaki bir kategorinin yüzde 25 oranındaki başka bir kategoriden daha sık görülmesi teknik olarak onu mod yapabilir; ancak dağılımda güçlü bir baskınlığın bulunduğunu söylemek yanıltıcı olur. Bu nedenle modun frekans ve yüzde tablosuyla birlikte değerlendirilmesi önemlidir.
Sonuç
Modun temel özellikleri, bu ölçünün değer büyüklüklerinden çok tekrar sıklığına dayanmasından kaynaklanır. Mod sayısal ve sözel verilerde kullanılabilir, nominal ölçüm düzeyindeki değişkenleri özetleyebilir ve uç değerlerin büyüklüğünden doğrudan etkilenmez. Bununla birlikte bir veri setinde tek, birden fazla veya hiçbir belirgin mod bulunmayabilir.
Mod kolay hesaplanan ve yorumlanan bir merkezi eğilim ölçüsü olsa da veri dağılımını tek başına açıklamaz. Özellikle sürekli verilerde, küçük örneklemlerde ve birbirine yakın kategori frekanslarında sınırlılıkları dikkate alınmalıdır. Aritmetik ortalama, medyan ve modun hangi durumlarda kullanılabileceğini karşılaştırmak için merkezi eğilim ölçüleri yazımızı inceleyebilirsiniz.
Araştırmanızda değişkenlerin nasıl özetleneceği, hangi betimsel istatistiklerin kullanılacağı veya SPSS çıktılarının nasıl raporlanacağı konusunda desteğe ihtiyaç duyuyorsanız istatistiksel analiz danışmanlığı hizmetimizin kapsamına göz atabilirsiniz.