Aritmetik ortalamanın temel özellikleri nelerdir?
Güncelleme tarihi: 5 gün önce
İstatistik Dersleri: Ders 37
Aritmetik ortalama, veri setindeki değerlerin toplamının gözlem sayısına bölünmesiyle hesaplanan ve dağılımın merkezini temsil etmeyi amaçlayan bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Hesaplanmasının kolay olması nedeniyle eğitimden sağlığa, ekonomiden sosyal bilimlere kadar pek çok alanda kullanılmasına rağmen her veri setini aynı ölçüde iyi temsil etmez. Aritmetik ortalamanın bütün gözlemleri hesaba katması, uç değerlerden etkilenmesi, sapmalar toplamını sıfıra eşitlemesi ve doğrusal dönüşümlere belirli biçimde tepki vermesi gibi önemli özellikleri bulunmaktadır. Bu özelliklerin bilinmesi, ortalamanın yalnızca hesaplanmasını değil, doğru yorumlanmasını da sağlar.
Aritmetik ortalama nedir?
Aritmetik ortalama, bir veri grubundaki bütün değerlerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle elde edilir ve genellikle xˉ\bar{x} sembolüyle gösterilir. Örneklem verilerinin ortalaması hesaplanırken xˉ\bar{x}, evrenin ortalaması ifade edilirken μ\mu sembolü kullanılır. Örneğin 3, 3, 6 ve 8 değerlerinin toplamı 20, gözlem sayısı 4 olduğu için aritmetik ortalama 5’tir. Aritmetik ortalamanın farklı veri yapılarından nasıl hesaplandığını öğrenmek için aritmetik ortalama nedir ve nasıl hesaplanır? başlıklı yazımızı inceleyebilirsiniz.
Örneklem aritmetik ortalaması:
xˉ=∑i=1nxin\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}
Evren aritmetik ortalaması:
μ=∑i=1NXiN\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N}X_i}{N}
1. Aritmetik ortalama nicel veriler için kullanılır
Aritmetik ortalama, üzerinde toplama ve bölme işlemlerinin anlamlı olduğu nicel değişkenler için hesaplanır. Boy uzunluğu, ağırlık, yaş, gelir, süre ve sınav puanı bu tür değişkenlere örnek gösterilebilir. Medeni durum veya bölüm gibi kategorik değişkenlerin sayılarla kodlanması, bu değişkenleri nicel hâle getirmez; örneğin bölümlere 1, 2 ve 3 kodlarının verilmesi bu kodların ortalamasını anlamlı kılmaz. Tek bir Likert maddesi de sıralı kategorilerden oluştuğu için ordinal kabul edilir ve madde ortalamasının kullanımı araştırmanın yaklaşımı ile ölçme varsayımları açıklanmadan otomatik olarak uygun sayılmamalıdır.
Değişken türleri hakkında ayrıntılı bilgi: Nicel ve nitel değişken nedir?
Ölçüm düzeyleri hakkında ayrıntılı bilgi: Nominal, ordinal, aralık ve oranlı ölçüm düzeyleri
2. Veri setinde yalnızca bir aritmetik ortalama bulunur
Belirli bir veri seti için hesaplanabilecek aritmetik ortalama tektir. Aynı değerler ve aynı gözlem sayısı kullanıldığında farklı iki aritmetik ortalama elde edilemez; bu özellik, ortalamayı kesin biçimde tanımlanmış bir merkezi eğilim ölçüsü hâline getirir. Buna karşılık bir veri setinde birden fazla mod bulunabilir veya hiçbir değer tekrar etmiyorsa mod oluşmayabilir. Aritmetik ortalamanın tek olması, veriyi her zaman iyi temsil ettiği anlamına gelmez; dağılımın yapısı ve uç değerler ayrıca değerlendirilmelidir.
3. Aritmetik ortalama bütün değerleri hesaba katar
Aritmetik ortalama hesaplanırken veri setindeki her gözlem sonuca katkıda bulunur. Değerlerden herhangi birinin değişmesi, diğer bütün değerler aynı kalsa bile ortalamayı etkiler; bu nedenle aritmetik ortalama, medyan ve moda göre veri değişimlerine daha duyarlıdır. Bütün verileri kullanması, ortalamanın önemli bir avantajıdır ancak hatalı kaydedilmiş tek bir gözlemin bile sonucu değiştirebilmesi nedeniyle aynı zamanda dikkat gerektirir. Analizden önce veri girişleri, eksik gözlemler ve gerçekçi olmayan değerler kontrol edilmelidir.
4. Aritmetik ortalama en küçük ve en büyük değer arasında bulunur
Aritmetik ortalama, veri setindeki en küçük değerden daha küçük ve en büyük değerden daha büyük olamaz. Örneğin bütün değerleri 10 ile 30 arasında bulunan bir veri setinin aritmetik ortalaması da 10 ile 30 arasında yer alır. Ortalama en küçük değere eşitse veya en büyük değere eşitse veri setindeki bütün gözlemlerin aynı değeri alması gerekir. Hesaplanan ortalamanın veri aralığının dışında bulunması, toplam veya gözlem sayısı belirlenirken hata yapıldığına işaret eder.
5. Aritmetik ortalamanın veri setinde bulunması gerekmez
Aritmetik ortalama, gözlenen değerlerin merkezini temsil eden hesaplanmış bir değerdir ve veri setindeki gerçek gözlemlerden biri olmak zorunda değildir. Örneğin 10, 12 ve 13 değerlerinin aritmetik ortalaması 11,67’dir; ancak veri setinde 11,67 değerine sahip bir gözlem bulunmamaktadır. Kesikli değişkenlerde ortalamanın gözlenmesi mümkün olmayan ondalıklı bir değer alması da normaldir; bir aile grubundaki ortalama çocuk sayısının 2,4 olması, herhangi bir ailenin 2,4 çocuğu olduğu anlamına gelmez. Bu sonuç, gruptaki toplam çocuk sayısının aileler arasındaki matematiksel paylaşımını gösterir.
6. Ortalamadan sapmaların toplamı sıfırdır
Her gözlemden aritmetik ortalama çıkarılarak hesaplanan sapmaların toplamı her zaman sıfıra eşittir. Bunun nedeni, ortalamanın altında kalan negatif sapmalar ile üzerinde kalan pozitif sapmaların birbirini dengelemesidir. Örneğin 1, 2, 4, 5, 8 ve 10 değerlerinin ortalaması 5’tir; değerlerin ortalamadan sapmaları sırasıyla −4, −3, −1, 0, 3 ve 5 olduğunda bunların toplamı sıfır çıkar. Bu özellik, aritmetik ortalamanın dağılımın matematiksel denge noktası olarak değerlendirilmesini sağlar.
Değer (xi)(x_i) | Ortalamadan sapma (xi−xˉ)(x_i-\bar{x}) |
1 | −4 |
2 | −3 |
4 | −1 |
5 | 0 |
8 | 3 |
10 | 5 |
Toplam | 0 |
7. Ortalama ile gözlem sayısının çarpımı verilerin toplamını verir
Aritmetik ortalama ile gözlem sayısı çarpıldığında veri setindeki değerlerin toplamı elde edilir. Bu özellik, veri toplamını yeniden bulmak, eksik bir değeri hesaplamak veya yapılan ortalama hesabını kontrol etmek için kullanılabilir. Örneğin 20 öğrencinin puan ortalaması 70 ise öğrencilerin toplam puanı 20×70=140020\times70=1400 olur. Toplamı ve gözlem sayısı bilinen bir gruba yeni bir değer eklendiğinde yeni ortalama, bütün değerleri baştan toplamadan da hesaplanabilir.
∑xi=nxˉ\sum x_i=n\bar{x}
8. Sabit bir sayı eklenirse ortalama aynı miktarda değişir
Veri setindeki bütün değerlere aynı sabit sayı eklendiğinde aritmetik ortalama da bu sayı kadar artar, aynı sayı çıkarıldığında ise aynı miktarda azalır. Örneğin ortalaması 60 olan bir sınavdaki bütün puanlara 5 puan eklenirse yeni ortalama 65 olur. Bu işlem dağılımın merkezini değiştirir ancak değerler arasındaki uzaklıkları ve standart sapmayı değiştirmez. Ölçümlerin başlangıç noktasının değiştirilmesi veya bütün katılımcılara aynı düzeltme puanının uygulanması bu özelliğe örnek gösterilebilir.
x+c‾=xˉ+c\overline{x+c}=\bar{x}+c
9. Bütün değerler bir sayıyla çarpılırsa ortalama da aynı sayıyla çarpılır
Veri setindeki bütün değerler aynı sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde aritmetik ortalama da aynı işlemden etkilenir. Örneğin metre cinsinden hesaplanan ortalama boy 1,72 ise bütün değerler 100 ile çarpılarak santimetreye dönüştürüldüğünde ortalama 172 olur. Hem çarpma hem de sabit ekleme işlemi birlikte uygulandığında yeni ortalama axˉ+ba\bar{x}+b biçiminde hesaplanabilir. Bu doğrusal dönüşüm özelliği, farklı puanlama sistemleri ve ölçü birimleri arasında dönüşüm yapılmasını kolaylaştırır.
ax+b‾=axˉ+b\overline{ax+b}=a\bar{x}+b
10. Bir değerdeki değişim ortalamayı gözlem sayısına bağlı olarak etkiler
Veri setindeki tek bir değer dd kadar artırıldığında aritmetik ortalama d/nd/n kadar artar. Örneğin 10 gözlemden oluşan bir veri setindeki tek bir değer 20 birim yükseltilirse ortalama 2 birim artar. Aynı büyüklükteki değişiklik küçük veri setlerinde ortalamayı daha fazla, büyük veri setlerinde ise daha az etkiler. Bu özellik, veri girişindeki tek bir hatanın özellikle küçük örneklemlerde neden önemli olabileceğini açıklar.
Ortalamadaki deg˘is¸im=dn\text{Ortalamadaki değişim}=\frac{d}{n}
11. Aritmetik ortalama uç değerlerden etkilenir
Aritmetik ortalama bütün gözlemleri kullandığı için çok küçük veya çok büyük uç değerlerden kolayca etkilenebilir. Örneğin 1, 2, 3 ve 4 değerlerinin ortalaması 2,5 iken veri setine 100 eklendiğinde ortalama 22’ye yükselir; buna karşılık medyan yalnızca 2,5’ten 3’e çıkar. Gelir, hastanede kalış süresi ve harcama gibi sağa çarpık dağılımlarda az sayıdaki yüksek değer ortalamayı yukarı çekebilir. Böyle durumlarda ortalama tek başına verilmemeli; medyan, çeyrekler arası aralık ve dağılım grafikleriyle birlikte değerlendirilmelidir.
Veri seti | Aritmetik ortalama | Medyan |
1, 2, 3, 4 | 2,5 | 2,5 |
1, 2, 3, 4, 100 | 22 | 3 |
12. Değerler birbirine yakın olduğunda temsil gücü genellikle artar
Aritmetik ortalama, değerlerin merkez çevresinde toplandığı ve belirgin uç değerlerin bulunmadığı dağılımlarda merkezi daha iyi temsil eder. Örneğin 10, 15 ve 18 değerlerinin ortalaması 14,33’tür ve gözlemlerin tamamına görece yakındır; 10, 15 ve 230 değerlerinin ortalaması olan 85 ise gözlemlerin hiçbirini iyi temsil etmez. Bu nedenle ortalamanın uygunluğu yalnızca hesaplanan değere bakılarak değil, standart sapma, açıklık, çeyrekler arası aralık ve dağılımın şekli incelenerek değerlendirilmelidir. Ortalama, verilerin yayılımı hakkında tek başına bilgi vermez.
13. Farklı veri setleri aynı aritmetik ortalamaya sahip olabilir
Aritmetik ortalamanın aynı olması, iki veri setinin birbirine benzer dağılımlara sahip olduğunu göstermez. Örneğin 4, 5 ve 6 değerlerinin ortalaması 5 olduğu gibi 0, 5 ve 10 değerlerinin ortalaması da 5’tir; ancak ikinci veri setindeki değerler çok daha geniş bir alana yayılmıştır. Gruplar yalnızca ortalamalarına bakılarak karşılaştırılırsa değişkenlik, çarpıklık ve uç değerler gözden kaçabilir. Bu nedenle aritmetik ortalama, standart sapma veya uygun başka bir yayılım ölçüsüyle birlikte raporlanmalıdır.
Veri seti | Ortalama | Açıklık |
4, 5, 6 | 5 | 2 |
0, 5, 10 | 5 | 10 |
14. Aritmetik ortalama kareli sapmalar toplamını en küçük yapar
Aritmetik ortalama, gözlemlerin herhangi bir merkez değerinden kareli uzaklıkları hesaplandığında bu toplamı en küçük yapan değerdir. Başka bir ifadeyle veri setindeki değerlerin ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı, başka herhangi bir sayıdan sapmaların kareleri toplamından daha küçük veya ona eşittir. Bu matematiksel özellik varyans, standart sapma, en küçük kareler yöntemi ve doğrusal regresyon gibi pek çok istatistiksel yöntemin temelinde yer alır. Ancak kare alma işlemi büyük sapmaları daha fazla büyüttüğü için uç değerlerin ortalama üzerindeki etkisini de artırır.
∑(xi−xˉ)2≤∑(xi−a)2\sum(x_i-\bar{x})^2\leq\sum(x_i-a)^2
Burada aa, aritmetik ortalama dışındaki herhangi bir karşılaştırma değerini göstermektedir.
15. Birleştirilmiş ortalama grup büyüklükleri dikkate alınarak hesaplanır
İki veya daha fazla grubun genel ortalaması bulunurken grup ortalamalarının doğrudan toplanıp grup sayısına bölünmesi yalnızca grupların gözlem sayıları eşitse doğru sonuç verir. Grup büyüklükleri farklı olduğunda her ortalama kendi gözlem sayısıyla çarpılmalı, elde edilen toplamlar birleştirilmeli ve sonuç toplam gözlem sayısına bölünmelidir. Örneğin 20 öğrencinin ortalaması 70 ve 30 öğrencinin ortalaması 80 ise genel ortalama 75 değil, 76’dır. Büyük grup genel ortalama üzerinde daha fazla ağırlığa sahip olduğu için hesaplamada öğrenci sayılarının dikkate alınması gerekir.
xˉgenel=n1xˉ1+n2xˉ2n1+n2\bar{x}_{genel}=\frac{n_1\bar{x}_1+n_2\bar{x}_2}{n_1+n_2} xˉgenel=(20×70)+(30×80)20+30=76\bar{x}_{genel}=\frac{(20\times70)+(30\times80)}{20+30}=76
Aritmetik ortalama ile ağırlıklı ortalama arasındaki fark nedir?
Basit aritmetik ortalamada bütün gözlemlerin sonuca eşit katkıda bulunduğu kabul edilirken ağırlıklı ortalamada bazı değerlerin etkisi diğerlerinden daha fazladır. Örneğin ders başarı notu hesaplanırken vizenin %40, finalin %60 etkili olması durumunda iki sınav puanı doğrudan toplanıp ikiye bölünmez; her puan kendi ağırlığıyla çarpılır. Frekans tablosundan hesaplanan ortalama da her değerin tekrar sayısı kadar ağırlık kazanması nedeniyle ağırlıklı ortalamanın bir uygulaması olarak düşünülebilir. Ağırlıkların toplamı 1 değilse hesaplamada ağırlıklı değerler toplamı, ağırlıkların toplamına bölünmelidir.
xˉw=∑wixi∑wi\bar{x}_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}
Frekans tablosunda aritmetik ortalama nasıl hesaplanır?
Frekans tablosunda her değer, tekrar sayısını gösteren frekansıyla çarpılır ve elde edilen çarpımlar toplanarak toplam frekansa bölünür. Örneğin 50 puan alan 3 öğrenci varsa 50 değeri toplam puana 50×3=15050\times3=150 katkıda bulunur. Gruplandırılmış frekans tablolarında gerçek değerler yerine sınıf orta noktaları kullanıldığı için hesaplanan ortalama genellikle yaklaşık bir değerdir. Basit, frekanslı ve gruplandırılmış serilerden ayrıntılı hesaplamalar için aritmetik ortalama hesaplama örnekleri yazımızdan yararlanabilirsiniz.
xˉ=∑fixi∑fi\bar{x}=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}
Aritmetik ortalama ne zaman kullanılmalıdır?
Aritmetik ortalama, nicel ve uygun ölçüm düzeyindeki verilerde, dağılımın yaklaşık simetrik olduğu ve sonucu aşırı ölçüde etkileyen uç değerlerin bulunmadığı durumlarda güçlü bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Normal veya normale yakın dağılımlarda ortalama genellikle standart sapmayla birlikte raporlanırken belirgin biçimde çarpık dağılımlarda medyan ve çeyrekler arası aralık daha açıklayıcı olabilir. Kullanılacak ölçü yalnızca normal dağılım testinin sonucuna göre mekanik biçimde seçilmemeli; histogram, kutu grafiği, çarpıklık, örneklem büyüklüğü ve araştırmanın amacı birlikte değerlendirilmelidir. Ortalama ve medyan birbirinin rakibi değil, dağılımın farklı özelliklerini açıklayan ölçülerdir.
Veri yapısı | Genellikle tercih edilen özet |
Yaklaşık simetrik ve uç değersiz nicel veri | Ortalama ve standart sapma |
Belirgin biçimde çarpık nicel veri | Medyan ve çeyrekler arası aralık |
Nominal kategorik veri | Frekans, yüzde ve mod |
Ordinal kategorik veri | Frekans, yüzde, medyan ve sıralama ölçüleri |
Aritmetik ortalama hesaplanırken yapılan hatalar nelerdir?
Aritmetik ortalama hesaplanırken kategorileri temsil eden sayısal kodların gerçek miktarlar gibi değerlendirilmesi, eksik değer kodlarının hesaba katılması, yanlış gözlem sayısına bölme yapılması ve uç değerlerin kontrol edilmemesi sık karşılaşılan hatalardır. Özellikle eksik veriler 99 veya 999 gibi sayılarla kodlanmışsa bu değerlerin analiz programında eksik olarak tanımlanmaması ortalamayı ciddi biçimde bozabilir. Farklı değişkenlerde eksik gözlem sayıları değişebileceği için her ortalamanın yanında geçerli gözlem sayısının kontrol edilmesi gerekir. Grupların büyüklükleri farklı olduğunda grup ortalamalarının doğrudan ortalamasını almak da yanlış bir genel ortalama üretebilir.
Sık sorulan sorular
Aritmetik ortalama her veri için hesaplanabilir mi?
Aritmetik ortalama, matematiksel işlemlerin anlamlı olduğu nicel veriler için hesaplanmalıdır. Kategorilerin sayılarla kodlanmış olması tek başına ortalama hesaplanmasını uygun hâle getirmez.
Aritmetik ortalama veri setinde bulunmak zorunda mıdır?
Aritmetik ortalama, gözlenen değerlerden biri olmak zorunda değildir ve ondalıklı bir sonuç verebilir. Özellikle çocuk sayısı veya başvuru sayısı gibi kesikli değişkenlerde ortalamanın gözlenmesi mümkün olmayan bir değer alması normaldir.
Aritmetik ortalama neden uç değerlerden etkilenir?
Aritmetik ortalama hesaplanırken veri setindeki bütün değerler toplama dâhil edilir. Çok büyük veya çok küçük bir gözlem toplamı değiştirdiği için ortalamayı da kendi yönüne doğru çeker.
Aritmetik ortalama mı, medyan mı kullanılmalıdır?
Yaklaşık simetrik ve belirgin uç değer içermeyen nicel verilerde aritmetik ortalama çoğunlukla uygun bir özettir. Çarpık dağılımlarda veya güçlü uç değerlerin bulunduğu durumlarda medyan merkezi daha iyi temsil edebilir.
Aritmetik ortalama tek başına yeterli midir?
Aritmetik ortalama dağılımın merkezini gösterir ancak değerlerin ortalama çevresinde ne kadar yayıldığını açıklamaz. Bu nedenle standart sapma, varyans, açıklık veya çeyrekler arası aralık gibi yayılım ölçüleriyle birlikte değerlendirilmelidir.
Sapmaların toplamı neden sıfırdır?
Aritmetik ortalama dağılımın matematiksel denge noktasıdır. Ortalamanın altında kalan negatif sapmalar ile üzerinde kalan pozitif sapmalar birbirini dengelediği için sapmaların toplamı sıfıra eşit olur.
Sonuç
Aritmetik ortalama; bütün gözlemleri kullanması, tek bir değer vermesi, sapmalar toplamını sıfıra eşitlemesi ve doğrusal dönüşümlere öngörülebilir biçimde tepki vermesi nedeniyle istatistikte önemli bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Bununla birlikte uç değerlerden etkilenmesi ve verilerin yayılımını tek başına gösterememesi, ortalamanın her veri setinde yeterli olmayacağını ortaya koymaktadır. Bu nedenle aritmetik ortalama hesaplanmadan önce değişkenin türü, ölçüm düzeyi, eksik veriler, dağılımın şekli ve uç değerler incelenmelidir.
Tez veya makalenizde kullanılacak betimsel istatistiklerin belirlenmesi ve doğru raporlanması konusunda desteğe ihtiyaç duyuyorsanız istatistiksel analiz danışmanlığı sayfamızı inceleyebilirsiniz.
Not: Bu içerik akademik bilgilendirme amacıyla hazırlanmıştır ve izin alınmadan ticari amaçla kullanılamaz. İçeriğin bütün yayın hakları Tez Yardım Platformu’na aittir.
