Mod nedir? Tepe değer nasıl bulunur?
Güncelleme tarihi: 14 Eyl
İstatistik Dersleri: Ders 40
Mod, bir veri setinde veya frekans dağılımında en sık görülen değer ya da kategoridir. Türkçede “tepe değer”, İngilizcede ise “mode” olarak adlandırılır. Modu bulmak için değerlerin kaç kez tekrarlandığı belirlenir ve en yüksek frekansa sahip olan değer tespit edilir. Bu yönüyle mod, bütün değerlerin toplamına dayanan aritmetik ortalamadan ve sıralamadaki orta konumu gösteren medyandan ayrılır.
Mod yalnızca sayısal verilerde değil, en sık görülen kategoriyi belirlemek amacıyla sözel verilerde de kullanılabilir. Örneğin bir ankette en fazla tercih edilen ulaşım türü “otobüs” ise bu değişkenin modu otobüstür. Modun özellikle nominal değişkenlerde önemli olmasının nedeni, aritmetik ortalama ve medyanın kullanılamadığı sırasız kategorik verilerde de anlamlı bir özet sunabilmesidir.
Mod nasıl bulunur?
Modu bulmak için veri setindeki her değerin kaç kez tekrarlandığı sayılır. Diğerlerinden daha sık görülen değer mod olarak kabul edilir. Değerler sıralandığında tekrarları görmek kolaylaşsa da aritmetik ortalama ve medyandan farklı olarak modu hesaplamak için verilerin mutlaka sıralanması gerekmez.
Uygulanabilecek temel adımlar şöyledir:
Veri setindeki farklı değerleri belirleyin.
Her değerin kaç kez tekrarlandığını sayın.
En yüksek frekansı bulun.
Bu frekansa sahip değeri veya değerleri mod olarak belirtin.
En yüksek frekans birden fazla değerde eşitse dağılımın birden fazla modu olduğunu açıklayın.
Mod için aritmetik ortalamadaki gibi bütün veri setlerine uygulanabilen bir toplama ve bölme formülü bulunmaz. Hesaplama esas olarak gözlem sıklıklarının karşılaştırılmasına dayanır.
Tek modlu veri setinde mod nasıl bulunur?
Aşağıdaki veri setini inceleyelim:
20, 20, 20, 22, 22, 25, 26, 26, 26, 26, 29, 29, 30, 30, 30
Bu veri setinde 20 üç kez, 22 iki kez, 25 bir kez, 26 dört kez, 29 iki kez ve 30 üç kez görülmektedir. En yüksek frekans 4’tür ve bu frekans yalnızca 26 değerine aittir. Dolayısıyla:
Mod = 26
Bu tür veri setleri tek modlu veya unimodal olarak adlandırılır. Tek modun bulunması, dağılımda yalnızca bir değerin diğer bütün değerlerden daha sık gözlendiğini gösterir.
Veri setinde mod bulunmayabilir mi?
Aşağıdaki veri setinde her değer yalnızca bir kez bulunmaktadır:
9, 11, 15, 17, 18, 20, 23, 25, 26
Hiçbir değer diğerlerinden daha sık görülmediği için bu veri setinde ayırt edici bir mod bulunmamaktadır. Başlangıç düzeyindeki istatistik uygulamalarında bu durum genellikle:
Mod yoktur.
şeklinde ifade edilir. Bütün değerlerin aynı frekansa sahip olduğu bir veri setinde teknik tanımın nasıl uygulandığı kaynağa göre farklı biçimde açıklanabilse de araştırma raporlarında “belirgin bir modal değer bulunmamaktadır” ifadesi daha açıklayıcıdır.
Bir veri setinde birden fazla mod olabilir mi?
Birden fazla değer aynı en yüksek frekansa sahipse veri setinin birden fazla modu bulunabilir. Aşağıdaki örneği inceleyelim:
24, 25, 26, 26, 27, 30, 34, 37, 37, 41
Bu veri setinde 26 ve 37 değerleri ikişer kez, diğer değerler ise birer kez görülmektedir. En yüksek frekans her iki değerde de eşit olduğundan:
Mod = 26 ve 37
olarak belirlenir. İki modu bulunan dağılımlar iki modlu veya bimodal, ikiden fazla modu bulunan dağılımlar ise çok modlu veya multimodal olarak adlandırılabilir.
Birden fazla modun bulunması yalnızca teknik bir hesaplama sonucu değildir; veri setinde farklı alt gruplar bulunabileceğine de işaret edebilir. Örneğin bir sınav puanı dağılımında iki ayrı tepe görülmesi, hazırlık düzeyleri farklı iki öğrenci grubunun aynı örneklem içerisinde yer aldığını düşündürebilir. Bu yorumun yapılabilmesi için histogram, örneklem yapısı ve araştırma süreci birlikte değerlendirilmelidir.
Çözümlü mod hesaplama örneği
Aşağıdaki veri setinin modunu bulalım:
24, 25, 32, 33, 33, 34, 38, 38, 38, 41
Değerlerin tekrar sayıları incelendiğinde 33’ün iki kez, 38’in üç kez, diğer değerlerin ise birer kez görüldüğü anlaşılmaktadır. En yüksek frekans 3 olduğuna ve bu frekans 38 değerine ait olduğuna göre:
Mod = 38
Burada modun 38 olması, değerlerin merkezinin mutlaka 38 olduğu anlamına gelmez. Sonuç yalnızca veri setinde en sık karşılaşılan değerin 38 olduğunu göstermektedir.
Frekans tablosundan mod nasıl bulunur?
Veriler frekans tablosu şeklinde sunulduğunda her değerin kaç kez tekrarlandığı doğrudan görülebilir. Bu durumda en yüksek frekansın bulunduğu satır belirlenir ve o satırdaki değer mod olarak alınır.
pH değeri | Frekans (f) |
6,4 | 1 |
6,8 | 2 |
7,0 | 3 |
7,2 | 2 |
8,3 | 2 |
8,7 | 1 |
Toplam | 11 |
Tablodaki en yüksek frekans 3’tür ve 7,0 değerine aittir. Buna göre:
Mod = 7,0
Frekans tablosunda iki veya daha fazla değer aynı en yüksek frekansa sahipse bu değerlerin tamamı mod olarak belirtilmelidir. Yalnızca tabloda ilk görülen değeri seçmek, dağılımdaki diğer modu gözden kaçırmaya neden olur.
Sözel ve kategorik verilerde mod nasıl bulunur?
Bir grup öğrencinin en çok tercih ettiği derslerin aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim:
Matematik, tarih, matematik, coğrafya, matematik, tarih
Matematik üç kez, tarih iki kez ve coğrafya bir kez seçilmiştir. En sık tekrarlanan kategori matematik olduğuna göre:
Mod = Matematik
Bu değişken nominal ölçüm düzeyindedir ve kategoriler arasında sayısal bir uzaklık bulunmamaktadır. Dolayısıyla “ortalama ders” veya sıralamadaki “orta ders” gibi bir hesaplama anlamlı değilken en sık tercih edilen kategorinin mod olarak belirtilmesi uygundur. IBM de kategorik verilerde en tipik özetlerden birinin kategori frekansları olduğunu ve en fazla gözleme sahip kategorinin mod olarak tanımlandığını belirtmektedir. IBM kategorik veriler için özet ölçüler.
Gruplandırılmış frekans tablosunda mod nasıl bulunur?
Gruplandırılmış frekans tablosunda tek tek gözlem değerleri bilinmez; yalnızca belirli sınıf aralıklarında kaç gözlem bulunduğu gösterilir. Bu nedenle tablodan öncelikle en yüksek frekansa sahip modal sınıf belirlenebilir. Ham veriler bulunmadığı için modal sınıftaki hangi değerin gerçekte en sık tekrarlandığı kesin olarak söylenemez.
Aşağıdaki tabloyu inceleyelim:
Puan aralığı | Frekans (f) |
1–10 | 5 |
11–20 | 2 |
21–30 | 4 |
31–40 | 3 |
41–50 | 3 |
Toplam | 17 |
En yüksek frekans 5 olduğundan:
Modal sınıf = 1–10 puan aralığı
Bu tablodan “Mod kesin olarak 5’tir” sonucu çıkarılamaz. Sınıf aralığının orta noktası (1 + 10) / 2 = 5,5 olarak bulunabilir; ancak 5,5 yalnızca sınıfın temsil değeri veya orta noktasıdır, veri setinde en sık görülen gerçek değer olduğu bilinmemektedir.
Gruplandırılmış verilerde bazı kaynaklar, modal sınıf ve komşu sınıfların frekanslarından yararlanarak yaklaşık bir mod değeri hesaplar. Bunun için modal sınıfın dağılımın ilk veya son sınıfında değil, iki komşu sınıf arasında bulunduğu bir örnek daha uygundur.
Puan aralığı | Frekans |
0–9 | 3 |
10–19 | 7 |
20–29 | 12 |
30–39 | 8 |
40–49 | 4 |
Bu tabloda modal sınıf 20–29’dur. Yaklaşık mod aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
Mod ≈ L + [d₁ / (d₁ + d₂)] × h
Burada:
L: Modal sınıfın gerçek alt sınırı,
d₁: Modal sınıf frekansı ile önceki sınıf frekansı arasındaki fark,
d₂: Modal sınıf frekansı ile sonraki sınıf frekansı arasındaki fark,
h: Sınıf genişliğidir.
Örneğimizde L = 19,5, d₁ = 12 − 7 = 5, d₂ = 12 − 8 = 4 ve h = 10 değerleri kullanılır:
Mod ≈ 19,5 + [5 / (5 + 4)] × 10
Mod ≈ 19,5 + 5,56
Mod ≈ 25,06
Bu sonuç ham gözlemlerden elde edilen kesin bir mod değil, gruplandırılmış frekans dağılımından hesaplanan yaklaşık bir değerdir. Araştırmada ham veriler mevcutsa modun doğrudan ham gözlemler üzerinden belirlenmesi daha doğru olur.
Sütun grafiğinden veya histogramdan mod nasıl bulunur?
Sütun grafiğinde en yüksek sütun, en sık gözlenen değer veya kategoriyi gösterir. Örneğin sıcaklık değerlerinin frekanslarını gösteren bir grafikte en yüksek sütun 21 dereceye aitse dağılımın modu 21 derecedir. Kategorik verilerde de en yüksek sütuna sahip kategori modal kategoriyi temsil eder.
Histogramda ise durum biraz farklıdır. Sürekli veriler belirli aralıklara ayrıldığı için en yüksek sütun çoğunlukla modal sınıfı gösterir; bu sınıf içerisindeki kesin modal değer ham veriler görülmeden bilinmeyebilir. Ayrıca histogramdaki sınıf genişliklerinin değiştirilmesi dağılımda görünen tepe sayısını etkileyebilir. NIST de sürekli verilerde belirli bir değerin tekrar etmeyebileceğini ve modun histogramın en yüksek sınıfı üzerinden yaklaşık biçimde değerlendirilebileceğini belirtmektedir. NIST konum ölçüleri.
Mod ile frekans aynı şey midir?
Mod ve frekans birbiriyle ilişkili fakat farklı kavramlardır. Frekans, bir değerin veya kategorinin kaç kez görüldüğünü; mod ise en yüksek frekansa sahip değer veya kategoriyi ifade eder.
Örneğin 26 değeri dört kez tekrar ediyorsa:
26: Mod,
4: Modun frekansıdır.
“Mod 4’tür” demek, en sık tekrar eden gözlem değeri gerçekten 4 değilse yanlış olur. Sonuç raporlanırken modal değer ile bu değerin kaç kez gözlendiği birbirinden ayrılmalıdır.
Mod ile medyan ve aritmetik ortalama arasındaki fark nedir?
Mod, medyan ve aritmetik ortalama merkezi eğilim ölçüleri arasında yer alsa da verileri farklı özelliklere göre özetler. Aynı veri setinde bu üç ölçü birbirine eşit olabileceği gibi tamamen farklı sonuçlar da verebilir.
Ölçü | Temel aldığı özellik | Kullanılabileceği en düşük ölçüm düzeyi |
Mod | En yüksek tekrar sıklığı | Nominal |
Medyan | Sıralamadaki orta konum | Ordinal |
Aritmetik ortalama | Bütün değerlerin toplamı | Uygun aralık/oran düzeyi |
Örneğin aşağıdaki veri setini ele alalım:
2, 3, 3, 5, 7
Bu veri setinde aritmetik ortalama 4, medyan 3 ve mod 3’tür. Sonuçların farklı olması hesaplama hatası değildir; her ölçünün “tipik değer” kavramını farklı şekilde tanımlamasından kaynaklanır.
Üç ölçünün aynı veri seti üzerindeki karşılaştırmasını merkezi eğilim ölçüleri yazımızdan inceleyebilirsiniz. Medyanın sıralamadaki konuma dayalı hesaplanması için medyan nedir ve nasıl hesaplanır?, bütün değerleri kullanan ortalama için ise aritmetik ortalama nedir ve nasıl hesaplanır? rehberlerimize geçebilirsiniz.
Mod uç değerlerden etkilenir mi?
Mod, değerlerin sayısal büyüklüğünden çok tekrar sayılarına dayandığı için tek bir aşırı büyük veya küçük gözlemin büyüklüğünden doğrudan etkilenmez. Örneğin 10, 10, 12, 15, 500 veri setinde mod 10’dur; 500 değeri 5.000 olarak değiştirilse bile mod yine 10 olarak kalır. Bu yönüyle mod, sayısal büyüklükteki uç değişikliklere karşı aritmetik ortalamadan daha az duyarlıdır.
Ancak bu durum modun her zaman veri setinin merkezini en iyi temsil ettiği anlamına gelmez. Sürekli verilerde bütün değerler farklı olabilir ve mod bulunmayabilir; küçük bir frekans değişikliği de modal değeri tamamen değiştirebilir. Dolayısıyla “uç değer varsa mod kullanılmalıdır” şeklinde genel bir kural doğru değildir. Veri dağılımının merkezini açıklamak için çoğu durumda aritmetik ortalama, medyan, mod, yayılım ölçüleri ve grafikler birlikte değerlendirilmelidir.
Mod araştırmalarda ne zaman kullanılır?
Mod, araştırmacının en sık görülen değeri, cevabı veya kategoriyi belirlemek istediği durumlarda kullanışlıdır. Katılımcıların en sık kullandığı ulaşım aracı, en çok tercih edilen ürün, en yaygın öğrenim düzeyi veya en sık gözlenen hastalık kategorisi mod ile özetlenebilir.
Modun özellikle nominal verilerde kullanılabilmesi önemli bir avantajdır. Bununla birlikte yalnızca modu raporlamak, diğer kategorilerin dağılımı hakkında yeterli bilgi vermeyebilir. Örneğin modal kategori yüzde 30 oranındaysa geri kalan yüzde 70’in farklı kategorilere nasıl dağıldığı da önemlidir. Bu nedenle kategorik araştırma sonuçlarında modla birlikte sayı ve yüzde dağılımlarının verilmesi daha açıklayıcıdır.
SPSS’te mod nasıl bulunur?
SPSS’te bir değişkenin modunu bulmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir:
Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies menüsünü açın.
Modu hesaplanacak değişkeni Variable(s) alanına aktarın.
Statistics düğmesine tıklayın.
Mode seçeneğini işaretleyin.
Continue ve ardından OK düğmesine basın.
SPSS çıktısındaki Statistics tablosunda mod değeri görüntülenir. Ancak veri setinde birden fazla mod bulunuyorsa SPSS yalnızca modlardan birini gösterebilir. IBM’in FREQUENCIES komutu açıklamasında da birden fazla mod bulunduğunda yalnızca ilk modun gösterildiği belirtilmektedir. Bu nedenle özellikle birden fazla değerin aynı en yüksek frekansa sahip olabileceği durumlarda yalnızca Statistics tablosuna bakılmamalı, frekans tablosu da incelenmelidir. IBM SPSS FREQUENCIES komutu.
Mod araştırma bulgularında nasıl raporlanır?
Sayısal bir veri setinde mod, değeri ve frekansıyla birlikte raporlanabilir. Örneğin “Katılımcıların en sık bildirdiği günlük çalışma süresi 2 saattir (n = 46)” ifadesi hem modal değeri hem de kaç katılımcıda gözlendiğini açıklar.
Kategorik verilerde ise sayı ve yüzde kullanılması daha bilgilendiricidir. Örneğin “Katılımcılar arasında en sık tercih edilen ulaşım türü otobüstür (n = 84; %42,0)” biçiminde bir raporlama yapılabilir. İki veya daha fazla kategori aynı en yüksek frekansa sahipse bunların tamamı belirtilmeli ve dağılımın iki modlu ya da çok modlu olduğu açıklanmalıdır.
Mod hesaplanırken yapılan yaygın hatalar
Bir veri setindeki en büyük sayıyı mod sanmak en sık karşılaşılan hatalardan biridir. Mod sayısal büyüklüğü değil, tekrar sıklığını ifade eder. Benzer biçimde bir değerin iki kez tekrar etmesi onu otomatik olarak mod yapmaz; başka bir değer üç veya daha fazla kez görülüyorsa mod daha yüksek frekansa sahip olan değerdir.
Birden fazla modu görmezden gelmek, bütün değerler aynı sıklıkta olduğu hâlde rastgele bir değer seçmek ve gruplandırılmış tabloda sınıf orta noktasını kesin mod olarak vermek de yanlış sonuçlara yol açar. SPSS’in birden fazla moddan yalnızca birini göstermesi durumunda frekans tablosunu kontrol etmemek de araştırma raporunda eksik bilgi sunulmasına neden olabilir.
Mod hakkında sık sorulan sorular
Mod ile tepe değer aynı şey midir?
Evet. Mod ve tepe değer aynı merkezi eğilim ölçüsünü ifade eder. Dağılım grafiğinde en yüksek frekansın bulunduğu nokta bir tepe oluşturduğu için Türkçede tepe değer adı kullanılmaktadır.
Mod veri setindeki en büyük değer midir?
Hayır. Mod, sayısal olarak en büyük değer değil, en sık tekrar eden değerdir. Küçük bir değer diğerlerinden daha sık görülüyorsa mod o küçük değer olabilir.
Mod ondalıklı olabilir mi?
Evet. Veri setindeki en sık tekrar eden değer 6,8 veya 7,25 gibi ondalıklı bir sayıysa mod da ondalıklı olabilir. Modun tam sayı olma zorunluluğu yoktur.
Her veri setinde mod bulunur mu?
Hayır. Hiçbir değerin diğerlerinden daha sık görülmediği veri setlerinde belirgin bir mod bulunmayabilir. Sürekli ölçümlerde değerlerin birbirini tam olarak tekrar etmemesi nedeniyle bu durumla sık karşılaşılabilir.
Bir veri setinin kaç modu olabilir?
Bir veri seti tek modlu, iki modlu veya çok modlu olabilir. Mod sayısı, aynı en yüksek frekansa sahip farklı değerlerin sayısına bağlıdır.
Mod nominal verilerde kullanılabilir mi?
Evet. Mod, nominal verilerde kullanılabilen temel merkezi eğilim ölçüsüdür. En sık görülen kategori doğrudan modal kategori olarak belirlenebilir.
Sonuç
Mod nedir sorusunun en kısa cevabı, veri setinde en sık görülen değer veya kategori olduğudur. Modu bulmak için her değerin frekansı belirlenir ve en yüksek frekansa sahip değer tespit edilir. Bir veri setinde tek bir mod bulunabileceği gibi iki veya daha fazla mod bulunabilir ya da belirgin bir mod hiç oluşmayabilir.
Mod özellikle kategorik verilerde en yaygın kategori hakkında yararlı bilgi verir; ancak veri dağılımının tamamını tek başına açıklamaz. Sayısal araştırmalarda modun aritmetik ortalama, medyan, yayılım ölçüleri ve grafiklerle birlikte değerlendirilmesi daha sağlıklı bir yorum yapılmasını sağlar. Modun matematiksel ve istatistiksel niteliklerini daha ayrıntılı incelemek için ders sırasındaki modun temel özellikleri yazımıza geçebilirsiniz.
Araştırmanızda hangi betimsel istatistiklerin kullanılacağı, verilerin SPSS’te analiz edilmesi veya sonuçların tez ve makale formatında raporlanması konusunda desteğe ihtiyaç duyuyorsanız istatistiksel analiz danışmanlığı hizmetimizin kapsamını inceleyebilirsiniz.