Ortalama mutlak sapma nedir? Formülü ve hesaplama örneği
Güncelleme tarihi: 5 gün önce
İstatistik Dersleri: Ders 46
Ortalama mutlak sapma, bir veri grubundaki değerlerin aritmetik ortalamaya olan mutlak uzaklıklarının ortalamasıdır. Verilerin ortalama çevresinde ne kadar toplandığını veya birbirinden ne ölçüde uzaklaştığını gösteren bir yayılım ölçüsüdür.
Ortalama mutlak sapmanın küçük olması değerlerin ortalamaya yakınlaştığını, büyük olması ise veri dağılımının genişlediğini gösterir. Sonucun negatif çıkması mümkün değildir; çünkü hesaplamada sapmaların mutlak değerleri kullanılır.
Bu yazıda mutlak sapma ile ortalama mutlak sapma arasındaki farkı, kullanılan formülü, hesaplama aşamalarını ve elde edilen sonucun nasıl yorumlanacağını örneklerle açıklayacağız.
Ortalama mutlak sapma nedir?
Bir veri grubundaki her değer aritmetik ortalamaya eşit olmayabilir. Bazı değerler ortalamanın altında, bazıları ise üzerinde bulunur. Her gözlemin ortalamaya olan uzaklığı sapma olarak adlandırılır.
Örneğin aritmetik ortalaması 8 olan bir veri grubunda 5 değerinin sapması:
5 − 8 = −3
olarak hesaplanır. Ancak burada ilgilenilen nokta sapmanın yönü değil, büyüklüğüdür. Bu nedenle sonucun mutlak değeri alınır:
|5 − 8| = 3
Bu değer, 5 sayısının aritmetik ortalamadan 3 birim uzakta olduğunu gösterir. Veri grubundaki bütün mutlak sapmalar hesaplanıp bunların ortalaması alındığında ortalama mutlak sapma elde edilir.
Yayılımı değerlendirmek için kullanılan diğer yöntemleri merkezi dağılım ölçüleri yazımızda birlikte inceleyebilirsiniz.
Mutlak sapma ile ortalama mutlak sapma arasındaki fark
Mutlak sapma ve ortalama mutlak sapma birbiriyle ilişkili ancak farklı kavramlardır.
Mutlak sapma, tek bir gözlemin aritmetik ortalamaya olan mutlak uzaklığıdır:
Mutlak sapma = |xᵢ − x̄|
Ortalama mutlak sapma ise veri grubundaki bütün mutlak sapmaların ortalamasıdır:
Ortalama mutlak sapma = Σ|xᵢ − x̄| / n
Bu nedenle “mutlak sapma” tek bir gözlem için, “ortalama mutlak sapma” ise veri grubunun tamamına ilişkin bir yayılım ölçüsü olarak düşünülmelidir. Ortalama sapma ifadesi de bazı kaynaklarda ortalama mutlak sapma yerine kullanılmaktadır.
Ortalama mutlak sapma formülü
Ortalama mutlak sapma aşağıdaki formülle hesaplanır:
OMS = Σ|xᵢ − x̄| / n
Formüldeki semboller şu anlamlara gelir:
xᵢ: Veri grubundaki her bir gözlem
x̄: Aritmetik ortalama
n: Gözlem sayısı
Σ: Elde edilen değerlerin toplanması
| |: İşlemin mutlak değerinin alınması
Formülde önce her gözlemden aritmetik ortalama çıkarılır. Elde edilen sapmaların mutlak değerleri alınır, toplanır ve gözlem sayısına bölünür.
Ortalama mutlak sapma nasıl hesaplanır?
Ortalama mutlak sapma beş adımda hesaplanabilir:
Veri grubunun aritmetik ortalaması bulunur.
Her değerden aritmetik ortalama çıkarılır.
Elde edilen sapmaların mutlak değerleri alınır.
Mutlak sapmalar toplanır.
Toplam, gözlem sayısına bölünür.
Mutlak değer kullanılmasının nedeni, negatif ve pozitif sapmaların birbirini sıfırlamasını önlemektir. Mutlak değerler alınmadan sapmalar toplandığında sonuç sıfır olur ve veri grubunun yayılımı ölçülemez.
Adım adım ortalama mutlak sapma örneği
Aşağıdaki veri grubunun ortalama mutlak sapmasını hesaplayalım:
5, 6, 8, 10, 11
1. Aritmetik ortalamayı hesaplayalım
Verilerin toplamı:
5 + 6 + 8 + 10 + 11 = 40
Gözlem sayısı 5 olduğuna göre aritmetik ortalama:
40 / 5 = 8
2. Mutlak sapmaları bulalım
Gözlem (xᵢ) | Sapma (xᵢ − 8) | Mutlak sapma |
5 | −3 | 3 |
6 | −2 | 2 |
8 | 0 | 0 |
10 | 2 | 2 |
11 | 3 | 3 |
Toplam | 10 |
3. Mutlak sapmaların ortalamasını alalım
Mutlak sapmaların toplamı 10, gözlem sayısı ise 5’tir:
OMS = 10 / 5 = 2
Bu veri grubunun ortalama mutlak sapması 2 olarak bulunur. Başka bir ifadeyle, veri grubundaki değerler aritmetik ortalama olan 8’den ortalama 2 birim uzaklıktadır.
Ortalama mutlak sapma nasıl yorumlanır?
Ortalama mutlak sapmanın yüksek veya düşük olduğuna karar vermek için geçerli tek bir sınır değer bulunmaz. Sonuç; verinin ölçü birimi, büyüklüğü ve karşılaştırılan diğer veri grupları dikkate alınarak yorumlanmalıdır.
Ortalama mutlak sapmanın sıfır olması, bütün gözlemlerin birbirine eşit olduğunu gösterir.
Küçük bir değer, gözlemlerin aritmetik ortalamaya yakın olduğunu gösterir.
Büyük bir değer, gözlemlerin daha geniş bir alana yayıldığını gösterir.
Sonuç, incelenen değişkenle aynı ölçü birimine sahiptir.
Örneğin sınav puanları inceleniyorsa ortalama mutlak sapma da puan birimiyle ifade edilir. Aylık gelir verileri inceleniyorsa sonuç kullanılan para birimi üzerinden yorumlanır.
Aynı ortalamaya sahip veri gruplarının karşılaştırılması
İki veri grubu aynı aritmetik ortalamaya sahip olsa bile farklı yayılım gösterebilir:
A grubu: 4, 5, 5, 5, 6B grubu: 1, 3, 5, 7, 9
Her iki grubun aritmetik ortalaması 5’tir. Buna karşılık:
A grubunun ortalama mutlak sapması 0,4’tür.
B grubunun ortalama mutlak sapması 2,4’tür.
B grubunun ortalama mutlak sapması daha yüksek olduğu için bu gruptaki değerler ortalama çevresinde daha geniş bir dağılım göstermektedir. Bu örnek, aritmetik ortalamanın tek başına veri dağılımını açıklamak için neden yeterli olmadığını gösterir.
Veri grubunun yalnızca en küçük ve en büyük değerleri arasındaki farkı incelemek isterseniz açıklık (ranj) nedir? başlıklı yazımıza da göz atabilirsiniz.
Ortalama mutlak sapma ile standart sapma arasındaki fark
Her iki ölçü de verilerin ortalama çevresindeki yayılımını gösterir. Ancak hesaplama yöntemleri farklıdır.
Ortalama mutlak sapmada, gözlemler ile aritmetik ortalama arasındaki farkların mutlak değerleri alınır. Standart sapmada ise bu farkların kareleri kullanılır. Sapmaların karesinin alınması, ortalamadan çok uzakta bulunan gözlemlerin standart sapma üzerinde daha fazla etkili olmasına neden olur.
Ortalama mutlak sapmanın yorumlanması daha kolaydır. Standart sapma ise istatistiksel analizlerde, dağılım değerlendirmelerinde ve ileri istatistiksel yöntemlerde daha yaygın kullanılmaktadır.
Ortalama mutlak sapma da aritmetik ortalamaya dayandığı için uç değerlerden tamamen bağımsız değildir. Bununla birlikte, sapmaların karesi alınmadığından çok büyük sapmalar standart sapmadaki kadar ağırlık kazanmaz.
Medyan mutlak sapma ile karıştırmayın
Ortalama mutlak sapma ile medyan mutlak sapma aynı ölçü değildir.
Ortalama mutlak sapmada gözlemlerin aritmetik ortalamaya olan mutlak uzaklıklarının ortalaması alınır. Medyan mutlak sapmada ise gözlemlerin medyana olan mutlak uzaklıklarının medyanı hesaplanır.
Medyan mutlak sapma uç değerlere karşı daha dayanıklı bir ölçüdür. Özellikle çarpık dağılımlarda veya aşırı değerlerin bulunduğu veri gruplarında tercih edilebilir. Bu nedenle bir araştırmada “mutlak sapma” ifadesi kullanılırken hangi yöntemin kastedildiği açıkça belirtilmelidir.
Sık sorulan sorular
Ortalama mutlak sapma negatif olabilir mi?
Hayır. Hesaplanan sapmaların mutlak değerleri alındığı için sonuç sıfır veya sıfırdan büyük olur.
Ortalama mutlak sapmanın sıfır olması ne anlama gelir?
Bütün gözlemlerin aynı değere sahip olduğunu gösterir. Bu durumda veriler arasında herhangi bir yayılım bulunmaz.
Ortalama mutlak sapma hangi birimle ifade edilir?
Sonuç, incelenen değişkenle aynı birimle ifade edilir. Bu özellik yorumlamayı kolaylaştırır.
Ortalama mutlak sapma yüksekse ne olur?
Gözlemler aritmetik ortalamadan daha uzaktadır ve veri grubu daha geniş bir dağılıma sahiptir. Ancak yüksek veya düşük şeklinde yorum yapabilmek için verinin ölçeği ve karşılaştırılan gruplar dikkate alınmalıdır.
Ortalama mutlak sapma mı, standart sapma mı kullanılmalıdır?
Bu tercih araştırmanın amacı ve kullanılacak istatistiksel yönteme bağlıdır. Ortalama mutlak sapma daha kolay yorumlanırken standart sapma akademik araştırmalarda ve ileri analizlerde daha yaygın kullanılmaktadır.
Sonuç
Ortalama mutlak sapma, gözlemlerin aritmetik ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını gösteren anlaşılır bir yayılım ölçüsüdür. Hesaplama sırasında her gözlemin ortalamaya olan mutlak uzaklığı bulunur ve bu değerlerin ortalaması alınır. Bununla birlikte, bir araştırmadaki dağılımın yalnızca tek bir ölçü üzerinden değerlendirilmesi yeterli olmayabilir. Ortalama mutlak sapma; standart sapma, varyans, açıklık ve çeyrekler arası açıklık gibi diğer ölçülerle birlikte değerlendirilmelidir.
Araştırmanızda hangi tanımlayıcı istatistiklerin ve analiz yöntemlerinin kullanılacağından emin değilseniz istatistiksel analiz danışmanlığı sayfamızı inceleyebilirsiniz. Tamamlanmış analizlerinizin yöntem, bulgu ve yorum açısından değerlendirilmesi için analiz kontrolü ve istatistiksel revizyon desteğinden yararlanabilirsiniz.
