Varyans nedir? Nasıl hesaplanır? Formülü ve örnekleri
Güncelleme tarihi: 1 gün önce
İstatistik Dersleri: Ders 47
Bir veri setini incelerken aritmetik ortalama bize değerlerin hangi nokta çevresinde toplandığını gösterir. Ancak ortalamanın bilinmesi, değerlerin birbirine ne kadar yakın veya uzak olduğunu açıklamak için tek başına yeterli değildir. Aynı ortalamaya sahip iki veri setinden birinde değerler birbirine çok yakınken diğerinde oldukça geniş bir dağılım görülebilir. Varyans, bu farklılığı ölçmek için kullanılan temel yayılım ölçülerinden biridir.
Varyans, her bir değerin aritmetik ortalamadan farkının karesini dikkate alarak veri setindeki değişkenliği sayısal olarak ifade eder. Değerlerin ortalama çevresinde birbirine yakın olması varyansın küçülmesine, daha geniş bir alana yayılması ise varyansın büyümesine neden olur. Varyans aynı zamanda standart sapmanın hesaplanmasının temelini oluşturur.
Bu yazıda varyans nedir, varyans nasıl hesaplanır, evren ve örneklem varyansı arasındaki fark nedir, varyans nasıl yorumlanır gibi temel soruları örnekler üzerinden ele alacağız. Ayrıca varyansın standart sapma ve diğer yayılım ölçüleriyle ilişkisini ve SPSS'te varyansın nasıl elde edilebileceğini açıklayacağız.
Varyans nedir?
Varyans, bir veri setindeki değerlerin aritmetik ortalama çevresindeki yayılımını gösteren istatistiksel bir ölçüdür. Hesaplama sırasında her bir gözlemin ortalamadan farkı bulunur, bu farkların kareleri alınır ve elde edilen değerler uygun biçimde ortalanır.
Burada farkların karelerinin alınmasının önemli bir nedeni vardır. Aritmetik ortalamanın altında kalan değerlerin sapmaları negatif, üzerinde kalanların sapmaları ise pozitif olur. Bu sapmalar doğrudan toplandığında birbirlerini götürebilir. Kare alma işlemi bu problemi ortadan kaldırırken, ortalamadan daha fazla uzaklaşan değerlerin hesaplama üzerindeki etkisini de artırır.
Varyans bu nedenle verilerin yalnızca hangi merkez çevresinde bulunduğunu değil, bu merkez etrafında ne kadar yayıldığını anlamamıza yardımcı olur. Merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin birlikte nasıl kullanıldığını görmek için Veri setlerinin betimlenmesinde kullanılan ölçüler ve hesaplanma yolları başlıklı yazımızı da inceleyebilirsiniz.
Varyans neyi gösterir?
Varyansın temel işlevi veri setindeki değişkenliği veya yayılımı göstermektir. Varyans küçüldükçe değerler aritmetik ortalama çevresinde daha fazla toplanır. Varyans büyüdükçe değerlerin ortalamadan uzaklıkları genel olarak artar.
Örneğin şu iki veri setini düşünelim:
A grubu: 48, 49, 50, 51, 52
B grubu: 30, 40, 50, 60, 70
Her iki grubun aritmetik ortalaması 50'dir. Buna rağmen ikinci veri setindeki değerler ortalamadan çok daha uzaktadır. Dolayısıyla B grubunun varyansı A grubundan daha büyüktür.
Bu örnek, yalnızca aritmetik ortalamaya bakarak iki dağılımın birbirine benzediği sonucuna varılamayacağını gösterir. Veri setinin merkezi hakkında bilgi veren aritmetik ortalama, medyan ve mod gibi ölçüler, varyans ve standart sapma gibi yayılım ölçüleriyle birlikte değerlendirilmelidir.
Varyans nasıl hesaplanır?
Varyans hesaplamasının mantığı birkaç temel adımdan oluşur:
Veri setinin aritmetik ortalaması hesaplanır.
Her bir değerin aritmetik ortalamadan farkı bulunur.
Bulunan farkların kareleri alınır.
Kareleri alınmış sapmalar toplanır.
Evren için toplam gözlem sayısına, örneklem için ise gözlem sayısının bir eksiğine bölünür.
Son aşamada kullanılan bölen, elimizdeki verilerin evreni mi yoksa bir örneklemi mi temsil ettiğine bağlıdır. Bu nedenle varyans hesaplamadan önce hangi formülün kullanılacağına karar verilmelidir.
Varyans formülü nedir?
Varyans için tek bir formül kullanıldığı düşünülse de evren varyansı ile örneklem varyansının hesaplanması arasında önemli bir farklılık bulunmaktadır.
Evren varyansı formülü
Araştırılan evrendeki bütün gözlemlere ait verilere sahipsek evren varyansı hesaplanabilir:
σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N
Formülde:
σ²: evren varyansı
xᵢ: her bir gözlem değeri
μ: evren aritmetik ortalaması
N: evrendeki toplam gözlem sayısı
Σ: değerlerin toplanacağını gösteren semboldür.
Evren varyansında kareleri alınmış sapmaların toplamı doğrudan N'ye bölünür.
Örneklem varyansı formülü
Bir evrenin tamamı yerine bu evrenden seçilmiş bir örneklem üzerinde çalışılıyorsa örneklem varyansı kullanılır:
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
Burada:
s²: örneklem varyansı
xᵢ: her bir gözlem değeri
x̄: örneklem aritmetik ortalaması
n: örneklemdeki gözlem sayısıdır.
Örneklem varyansında paydanın n yerine n − 1 olması dikkat edilmesi gereken temel farklılıktır. Bunun nedeni, örneklemden hesaplanan varyansın evren varyansını tahmin etmek için kullanılmasıdır. n − 1'e bölme işlemi, bu tahmindeki sistematik yanlılığı düzeltmeye yardımcı olur.
Varyans hesaplama örneği
Varyansın nasıl bulunduğunu bir örnek üzerinden adım adım inceleyelim.
Örneklemimizin:
3, 4, 6, 10, 12
değerlerinden oluştuğunu varsayalım.
1. Aritmetik ortalamayı hesaplayalım
Öncelikle bütün değerleri toplarız:
3 + 4 + 6 + 10 + 12 = 35
Gözlem sayımız 5 olduğuna göre:
x̄ = 35 / 5 = 7
Aritmetik ortalamamız 7'dir.
2. Her değerin ortalamadan farkını bulalım
x | x̄ | x − x̄ | (x − x̄)² |
3 | 7 | -4 | 16 |
4 | 7 | -3 | 9 |
6 | 7 | -1 | 1 |
10 | 7 | 3 | 9 |
12 | 7 | 5 | 25 |
Toplam | 60 |
Sapmaların kareleri toplamı 60 olarak bulunmuştur.
3. Örneklem varyansını hesaplayalım
Örneklemde beş gözlem bulunduğu için:
n − 1 = 5 − 1 = 4
Buna göre:
s² = 60 / 4 = 15
Bu örneklemin varyansı 15'tir.
Burada 15 değerini “gözlemler ortalamadan 15 birim uzaktadır” şeklinde yorumlamak doğru değildir. Çünkü varyans, sapmaların karelerinden hesaplanmaktadır. Verilerin kendi ölçü birimi üzerinden daha kolay yorumlanabilen yayılım ölçüsü için varyansın karekökü alınarak standart sapma hesaplanır.
Evren varyansı hesaplama örneği
Şimdi aynı işlemi bir evren veri seti üzerinden inceleyelim:
5, 6, 8, 10, 11
Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplarız:
μ = (5 + 6 + 8 + 10 + 11) / 5 = 8
Sapmalar ve kareleri şöyledir:
x | μ | x − μ | (x − μ)² |
5 | 8 | -3 | 9 |
6 | 8 | -2 | 4 |
8 | 8 | 0 | 0 |
10 | 8 | 2 | 4 |
11 | 8 | 3 | 9 |
Toplam | 26 |
Bu kez veri seti evren olarak kabul edildiğinden toplamı N = 5 değerine böleriz:
σ² = 26 / 5 = 5,20
Evren varyansı 5,20 olarak bulunur.
Bu iki örnek arasındaki temel fark hesaplama mantığında değil, son aşamada kullanılan paydadadır. Evren varyansında N, örneklem varyansında ise n − 1 kullanılır.
Varyans neden kare alınarak hesaplanır?
Varyansın ilk bakışta en dikkat çekici özelliği, ortalamadan sapmaların karelerinin kullanılmasıdır. Bunun temel nedenlerinden biri pozitif ve negatif sapmaların birbirini ortadan kaldırmasını engellemektir.
Örneğin ortalaması 10 olan bir veri setinde 7'nin sapması −3, 13'ün sapması ise +3 olur. Bu iki değer doğrudan toplandığında sonuç sıfırdır. Oysa her iki gözlem de ortalamadan üç birim uzaktadır.
Kareleri alındığında:
(−3)² = 9
(+3)² = 9
olur. Böylece her iki sapma da varyans hesabına katkıda bulunur.
Kare alma işleminin başka bir sonucu da büyük sapmaların daha fazla ağırlık kazanmasıdır. Bu nedenle varyans, ortalamadan oldukça uzakta bulunan gözlemlere duyarlı bir yayılım ölçüsüdür.
Varyans nasıl yorumlanır?
Varyansın yorumlanmasında en sık yapılan hatalardan biri, elde edilen değeri doğrudan verilerin ortalamadan ortalama uzaklığı olarak değerlendirmektir.
Örneğin varyansın 25 bulunması, gözlemlerin ortalamadan ortalama 25 birim uzaklaştığı anlamına gelmez. Çünkü hesaplama sırasında sapmaların kareleri kullanılmıştır.
Genel olarak:
Varyans küçükse: değerler aritmetik ortalama çevresinde daha fazla toplanmıştır.
Varyans büyükse: değerler daha geniş bir alana yayılmıştır.
Ancak “5 varyansı küçüktür, 20 varyansı büyüktür” gibi her veri seti için geçerli sabit sınırlar yoktur. Varyansın büyüklüğü değişkenin ölçeğine, ölçü birimine ve verilerin genel yapısına bağlıdır.
Bu nedenle varyans özellikle aynı değişken veya karşılaştırılabilir veri setleri değerlendirilirken anlam kazanır.
Varyans sıfır olabilir mi?
Evet. Veri setindeki bütün gözlemler aynı değere sahipse varyans 0 olur.
Örneğin:
8, 8, 8, 8, 8
veri setinin aritmetik ortalaması 8'dir. Her gözlemin ortalamadan farkı sıfır olduğundan sapmaların kareleri de sıfırdır.
Dolayısıyla:
Varyans = 0
olur.
Bu durum veri setinde herhangi bir değişkenlik bulunmadığını gösterir.
Varyans negatif olabilir mi?
Hayır. Varyans negatif değer alamaz.
Bunun nedeni, varyans hesaplamasında ortalamadan sapmaların karelerinin kullanılmasıdır. Bir sayının karesi negatif olamayacağından bu değerlerin toplamı ve dolayısıyla varyans da negatif olamaz.
Varyansın alabileceği en küçük değer 0'dır.
Varyans ile standart sapma arasındaki fark nedir?
Varyans ve standart sapma aynı temel bilgiyi, yani verilerin ortalama çevresindeki yayılımını ele alır. Aralarındaki temel ilişki oldukça basittir:
Standart sapma = √Varyans
Buna karşılık:
Varyans = (Standart sapma)²
Örneğin varyans 36 ise:
Standart sapma = √36 = 6
olur.
Aralarındaki önemli yorumlama farkı ise ölçü birimidir. Bir değişken kilogram cinsinden ölçülüyorsa varyans kg², standart sapma ise tekrar kg cinsinden ifade edilir. Bu nedenle standart sapmanın günlük ve araştırma bağlamında yorumlanması çoğu zaman daha kolaydır.
Bu ilişkiyi ve standart sapmanın hesaplanmasını ayrıntılı olarak Standart sapma nedir? Nasıl hesaplanır? yazımızda inceleyebilirsiniz.
Varyans ile ortalama mutlak sapma arasındaki fark nedir?
Her iki ölçü de veri setindeki yayılımı değerlendirmeye çalışır ancak hesaplama yöntemleri farklıdır.
Varyansta ortalamadan farkların kareleri kullanılır. Ortalama mutlak sapmada ise farkların mutlak değerleri alınır. Bu nedenle özellikle ortalamadan çok uzak gözlemler varyans üzerinde daha büyük bir etkiye sahip olabilir.
Ortalama mutlak sapmanın nasıl hesaplandığını örneklerle görmek için Ortalama mutlak sapma nedir? Formülü ve hesaplama örneği yazımıza göz atabilirsiniz.
Varyans ile değişim katsayısı arasındaki fark nedir?
Varyans veri setindeki mutlak yayılım hakkında bilgi verirken, değişim katsayısı standart sapmayı aritmetik ortalamaya oranlayarak göreli değişkenliği değerlendirmeyi amaçlar.
Bu özellik, özellikle ölçekleri veya ortalamaları farklı olan uygun veri setlerinin göreli değişkenliğini karşılaştırırken yararlı olabilir. Değişim katsayısının formülünü ve kullanımını Değişim katsayısı (varyasyon katsayısı) nedir? Nasıl hesaplanır? yazımızda ayrıntılı olarak ele aldık.
SPSS'te varyans nasıl bulunur?
SPSS'te bir değişkenin varyansını elde etmenin kolay yollarından biri Frequencies menüsünü kullanmaktır.
İzlenecek yol:
Analyze → Descriptive Statistics → Frequencies
Varyansı hesaplanacak değişken ilgili alana aktarıldıktan sonra Statistics seçeneğine girilir ve Variance işaretlenir. Analiz çalıştırıldığında SPSS sonuç tablosunda ilgili değişkenin varyans değeri görüntülenir.
Çok sayıda değişkenle çalışan araştırmacılar için bu yöntem, varyansı elle hesaplamak yerine hızlı biçimde elde etmeyi sağlar. SPSS'i yeni öğreniyorsanız veri girişinden temel ve ileri analizlere uzanan içeriklerimizi Sıfırdan başlayanlar için SPSS kılavuzu üzerinden inceleyebilirsiniz.
Varyans araştırmalarda ne için kullanılır?
Varyans yalnızca temel istatistik derslerinde hesaplanan bir değer değildir. İstatistiğin birçok ileri yönteminin matematiksel temelinde varyans ve varyansın bileşenleri bulunmaktadır.
Örneğin gruplar arasındaki ve grup içindeki değişkenliğin karşılaştırıldığı varyans analizi (ANOVA), adından da anlaşılacağı üzere varyans kavramıyla doğrudan ilişkilidir. Regresyon ve diğer istatistiksel modellerde de açıklanan ve açıklanamayan değişkenliğin değerlendirilmesi temel bir yere sahiptir.
Betimsel istatistik açısından ise varyans, veri setindeki değerlerin aritmetik ortalama çevresinde ne kadar değişkenlik gösterdiğini anlamamızı sağlar. Bununla birlikte araştırma sonuçları raporlanırken varyanstan daha sık standart sapmanın kullanılması mümkündür; çünkü standart sapma ölçülen değişkenle aynı birimde ifade edilir.
Araştırmanızda yalnızca betimsel istatistikler değil, hipotez testleri veya daha ileri analizler de gerekiyorsa İstatistiksel analiz danışmanlığı sayfamızdan yürüttüğümüz analiz çalışmalarının kapsamını inceleyebilirsiniz.
Varyansla ilgili sık sorulan sorular
Varyans ne demek?
Varyans, veri değerlerinin aritmetik ortalama çevresindeki yayılımını ölçen bir istatistiksel ölçüdür. Değerler ortalamadan uzaklaştıkça varyans genel olarak büyür.
Varyans nasıl bulunur?
Önce aritmetik ortalama hesaplanır. Her gözlemin ortalamadan farkı bulunarak karesi alınır ve bu değerler toplanır. Toplam, evren için N'ye; örneklem için n − 1'e bölünür.
Varyansın formülü nedir?
Evren varyansı σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N, örneklem varyansı ise s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) formülüyle hesaplanır.
Varyans neden n − 1'e bölünür?
Örneklemden evren varyansını tahmin ederken örneklem ortalamasının kullanılmasından kaynaklanan yanlılığı düzeltmek amacıyla serbestlik derecesi dikkate alınır ve paydada n − 1 kullanılır.
Varyans ile standart sapma aynı şey midir?
Hayır. Birbiriyle doğrudan ilişkili olsalar da aynı ölçü değildir. Standart sapma varyansın kareköküdür.
Varyansın yüksek olması ne anlama gelir?
Genel olarak gözlem değerlerinin aritmetik ortalama çevresinde daha geniş bir dağılım gösterdiğini ifade eder. Ancak varyansın yüksek veya düşük olduğu, veri setinin bağlamı ve ölçüm ölçeği dikkate alınmadan sabit eşiklerle belirlenemez.
Varyansın birimi nedir?
Varyans, değişkenin ölçü biriminin karesi cinsindendir. Örneğin veriler metre cinsindeyse varyans metre kare cinsinden ifade edilir.
Sonuç
Varyans, bir veri setindeki değerlerin aritmetik ortalama çevresinde ne ölçüde yayıldığını gösteren temel istatistiksel ölçülerden biridir. Hesaplamada sapmaların karelerinin kullanılması, pozitif ve negatif sapmaların birbirini ortadan kaldırmasını engeller ve ortalamadan daha uzak değerlerin değişkenlik üzerindeki etkisini artırır.
Varyans hesaplanırken veri setinin evren mi yoksa örneklem mi olduğuna dikkat edilmelidir. Evren varyansında kareleri alınmış sapmaların toplamı N'ye, örneklem varyansında ise n − 1'e bölünür. Elde edilen varyansın karekökü ise standart sapmayı verir. Varyans, standart sapma, ortalama mutlak sapma ve değişim katsayısı gibi ölçüleri birlikte öğrenmek, bir veri setinin yalnızca merkezini değil dağılımını da doğru değerlendirmeyi sağlar. Bu ölçüleri topluca incelemek isterseniz Merkezi dağılım ölçüleri nedir? başlıklı içeriğimize geçebilirsiniz.
