Değişim katsayısı (varyasyon katsayısı) nedir? Nasıl hesaplanır?
Güncelleme tarihi: 13 Eyl
İstatistik Dersleri: Ders 49
Değişim katsayısı (varyasyon katsayısı), bir veri setindeki standart sapmanın aritmetik ortalamaya göre büyüklüğünü gösteren göreli bir değişkenlik ölçüsüdür. İngilizcede coefficient of variation olarak adlandırılır ve genellikle CV kısaltmasıyla gösterilir.
Standart sapma verilerin ortalama çevresindeki yayılımını ölçüm birimiyle birlikte gösterirken değişim katsayısı bu yayılımı ortalamaya oranlar. Bu nedenle özellikle ortalamaları veya büyüklükleri farklı veri setlerinin göreli değişkenliklerini karşılaştırırken kullanışlıdır.
Değişim katsayısı nedir?
Bir veri setinin standart sapmasının 10 olması tek başına dağılımın çok yüksek veya düşük olduğunu söylemek için her zaman yeterli değildir. Çünkü standart sapmanın büyüklüğü, veri setinin ortalamasına ve ölçüm ölçeğine bağlıdır.
Örneğin ortalaması 20 olan bir veri setinde 10 birimlik standart sapma oldukça büyük bir yayılımı ifade ederken, ortalaması 500 olan başka bir veri setinde aynı standart sapma göreli olarak çok daha küçük olabilir.
Değişim katsayısı bu problemi standart sapmayı ortalamaya oranlayarak çözer. Sonuç genellikle yüzde olarak ifade edilir. Böylece veri setindeki değişkenliğin ortalamanın ne kadarına karşılık geldiği görülebilir.
Değişim katsayısı formülü nedir?
Örneklem için değişim katsayısı şu şekilde hesaplanır:
CV = (s / x̄) × 100
Burada:
CV: Değişim (varyasyon) katsayısı
s: Örneklem standart sapması
x̄: Örneklem aritmetik ortalaması
Bir evrenin tamamı inceleniyorsa formül:
CV = (σ / μ) × 100
şeklinde gösterilebilir.
Burada σ evren standart sapmasını, μ ise evren ortalamasını ifade eder.
Standart sapmanın nasıl elde edildiğini ayrıntılı görmek isterseniz Standart Sapma Nedir? Nasıl Hesaplanır? yazımızı inceleyebilirsiniz.
Değişim katsayısı nasıl hesaplanır?
Değişim katsayısını hesaplamak için üç temel adım izlenir:
Veri setinin aritmetik ortalaması hesaplanır.
Standart sapması bulunur.
Standart sapma ortalamaya bölünür ve sonuç 100 ile çarpılır.
Örneğin şu veri setini ele alalım:
4, 10, 16
Bu değerleri bir örneklem olarak kabul edelim.
Aritmetik ortalama:
x̄ = (4 + 10 + 16) / 3 = 10
Örneklem standart sapması:
s = 6
Değişim katsayısı:
CV = (6 / 10) × 100 = %60
Bu veri setinin değişim katsayısı %60 olarak bulunur.
Bu sonuç, standart sapmanın ortalamanın %60'ına karşılık geldiğini gösterir. Başka bir ifadeyle veri setindeki göreli değişkenlik oldukça belirgindir.
Değişim katsayısı nasıl yorumlanır?
Değişim katsayısının temel yorumlama mantığı oldukça basittir:
Değişim katsayısı yükseldikçe ortalamaya göre göreli değişkenlik artar; değişim katsayısı düştükçe veriler ortalamaya göre daha az değişkenlik gösterir.
Ancak değişim katsayısı için her araştırma alanında geçerli olan “%10'un altı iyi”, “%20'nin üstü yüksek” gibi evrensel sınırlar yoktur. Bir CV değerinin yüksek veya düşük kabul edilmesi çalışılan alana, ölçülen özelliğe ve araştırmanın amacına bağlıdır.
Bu nedenle değişim katsayısı çoğu zaman tek başına değerlendirilmek yerine iki veya daha fazla veri setinin göreli değişkenliğini karşılaştırmak için daha anlamlıdır.
Değişim katsayısı ile iki veri seti nasıl karşılaştırılır?
Değişim katsayısının asıl avantajı, standart sapmaların doğrudan karşılaştırılmasının yanıltıcı olabileceği durumlarda ortaya çıkar.
Örneğin iki veri setimiz olduğunu düşünelim:
Veri seti | Ortalama | Standart sapma | Değişim katsayısı |
A | 10 | 2 | %20 |
B | 100 | 10 | %10 |
Yalnızca standart sapmalara bakarsak B veri setinin standart sapması 10 olduğu için daha değişken olduğunu düşünebiliriz.
Ancak ortalamaları dikkate aldığımızda durum değişir:
A için:CV = (2 / 10) × 100 = %20
B için:CV = (10 / 100) × 100 = %10
Bu durumda A veri setinin standart sapması daha küçük olmasına rağmen ortalamasına göre göreli değişkenliği daha yüksektir.
Değişim katsayısının standart sapmaya göre sağladığı temel avantaj budur.
Değişim katsayısı ile standart sapma arasındaki fark nedir?
Standart sapma ve değişim katsayısı aynı kavram değildir. İkisi de dağılım hakkında bilgi verir ancak farklı biçimde yorumlanır.
Özellik | Standart sapma | Değişim katsayısı |
Gösterdiği özellik | Mutlak yayılım | Göreli yayılım |
Ölçüm birimi | Verilerle aynı birimdedir | Birimsizdir, genellikle % ile ifade edilir |
Ortalama dikkate alınır mı? | Doğrudan hayır | Evet |
Farklı büyüklükteki serileri karşılaştırma | Sınırlı olabilir | Daha kullanışlıdır |
Temel hesap | Varyansın karekökü | Standart sapma / ortalama |
Örneğin iki veri setinin standart sapmalarının aynı olması, göreli değişkenliklerinin de aynı olduğu anlamına gelmez. Ortalamaları farklıysa değişim katsayıları da farklı olacaktır.
Varyans ile standart sapma arasındaki ilişki için ayrıca Varyans Nedir? Nasıl Hesaplanır? yazımıza bakabilirsiniz.
Değişim katsayısı ne işe yarar?
Değişim katsayısı özellikle iki veya daha fazla veri serisinin ortalama büyüklükleri farklı olduğunda göreli değişkenliklerini karşılaştırmak için kullanılır.
Örneğin farklı ortalamalara sahip üretim ölçümlerinin, biyolojik ölçümlerin, ekonomik göstergelerin veya deneysel sonuçların göreli değişkenliği karşılaştırılabilir.
Bir veri setinin standart sapması diğerinden yüksek olabilir. Ancak ortalaması da çok daha yüksekse, göreli değişkenliği aslında daha düşük olabilir. Değişim katsayısı bu ayrımı görmeyi kolaylaştırır.
Değişim katsayısı ne zaman kullanılmamalıdır?
Değişim katsayısının her veri türünde kullanılması doğru değildir.
Özellikle aritmetik ortalamanın sıfıra çok yakın olduğu durumlarda değişim katsayısı çok büyük ve kararsız değerlere ulaşabilir. Ortalama sıfır olduğunda ise standart sapmanın ortalamaya bölünmesi mümkün olmadığı için değişim katsayısı tanımsızdır.
Ayrıca değişim katsayısının anlamlı biçimde yorumlanabilmesi için ölçüm ölçeğinin anlamlı bir sıfır noktasına sahip olması önemlidir. Bu nedenle her nicel değişkende otomatik olarak değişim katsayısı hesaplamak doğru değildir.
Örneğin sıfır noktasının keyfî olduğu bazı ölçeklerde değişim katsayısının yorumu yanıltıcı olabilir.
Bu nedenle yalnızca formülün hesaplanabiliyor olması, elde edilen CV değerinin mutlaka anlamlı olduğu anlamına gelmez.
Değişim katsayısı normal dağılımı gösterir mi?
Değişim katsayısı bir normallik testi değildir.
CV'nin düşük veya yüksek olması tek başına verilerin normal dağılıma sahip olup olmadığını göstermez. Normal dağılım değerlendirilirken araştırmanın ve kullanılacak yöntemin özelliklerine göre histogram, Q-Q grafiği, çarpıklık-basıklık değerleri ve uygun durumlarda normallik testleri gibi farklı bilgiler birlikte incelenebilir.
Dolayısıyla “değişim katsayısı %30'un altındaysa veri normal dağılır” biçiminde genel bir karar kuralı kullanılmamalıdır.
Değişim katsayısı kaç olmalı?
Değişim katsayısı için bütün bilim alanlarında geçerli tek bir ideal değer bulunmaz.
Örneğin %5'lik bir değişim katsayısı bir ölçüm sürecinde oldukça düşük değişkenliğe işaret edebilirken, başka bir araştırma alanında beklenen değişkenlik düzeyi farklı olabilir.
Bu nedenle CV değerini yorumlarken:
araştırma alanı,
ölçülen değişken,
benzer çalışmalar,
karşılaştırılan diğer veri setleri
birlikte değerlendirilmelidir.
Genel yorum açısından, aynı bağlamda karşılaştırılan veri setlerinden CV değeri daha düşük olanın göreli değişkenliği daha düşüktür.
İkinci bir hesaplama örneği
Şu evren veri setini ele alalım:
4, 10, 16, 22, 28
Aritmetik ortalama:
μ = 16
Evren standart sapması:
σ ≈ 8,49
Değişim katsayısı:
CV = (8,49 / 16) × 100 ≈ %53,1
Bu durumda standart sapma, ortalamanın yaklaşık %53'üne karşılık gelmektedir.
Tek başına %53,1 değerine bakarak verilerin “iyi”, “kötü” veya “normal” olduğuna karar verilmez. Ancak bu değer başka bir veri setinin değişim katsayısıyla karşılaştırılarak hangi serinin ortalamasına göre daha değişken olduğu değerlendirilebilir.
Kısaca değişim katsayısı
Değişim katsayısı, standart sapmayı aritmetik ortalamaya oranlayarak veri setinin göreli değişkenliğini gösterir.
Formülü:
CV = (Standart sapma / Aritmetik ortalama) × 100
şeklindedir.
Standart sapma mutlak yayılımı gösterirken değişim katsayısı ortalamaya göre göreli yayılımı ortaya koyar. Bu özelliği sayesinde özellikle ortalamaları farklı veri setlerinin değişkenliklerini karşılaştırmada kullanışlıdır.
Ancak ortalamanın sıfıra yakın olduğu veya anlamlı bir sıfır noktasının bulunmadığı ölçümlerde değişim katsayısının yorumlanmasına dikkat edilmelidir.
Dağılım ölçülerini bir bütün olarak incelemek isterseniz Merkezi Dağılım Ölçüleri Nedir? yazımızdan devam edebilirsiniz.
