Medyan nasıl hesaplanır? Çözümlü örnekler
Güncelleme tarihi: 14 Eyl
İstatistik Dersleri: Ders 39
Medyan hesaplamak için veriler önce küçükten büyüğe sıralanır; gözlem sayısı tekse ortadaki değer, çiftse ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması alınır. Türkçede ortanca olarak da adlandırılan medyan, veri setinin merkezindeki konumu gösterir. Bu yazıda medyanın tanımını tekrar etmek yerine ham veriden, frekans tablosundan ve gruplandırılmış frekans tablosundan nasıl hesaplandığını çözümlü örneklerle ele alacağız.
Medyanın anlamı, temel özellikleri, uç değerlerden etkilenme düzeyi ve aritmetik ortalamayla farkı hakkında daha kapsamlı bilgiye ihtiyaç duyuyorsanız önce Medyan nedir? Nasıl hesaplanır? başlıklı ana rehberimizi inceleyebilirsiniz.
Medyan hesaplama adımları nelerdir?
Ham bir veri setinin medyanını bulurken dört temel adım izlenir. Verilerin sıralanmaması, özellikle gözlem sayısının fazla olduğu örneklerde yanlış sonuca ulaşılmasının en yaygın nedenidir.
Verileri küçükten büyüğe sıralayın.
Toplam gözlem sayısını belirleyin.
Gözlem sayısının tek mi çift mi olduğunu kontrol edin.
Gözlem sayısı tekse ortadaki değeri, çiftse ortadaki iki değerin aritmetik ortalamasını alın.
Gözlem sayısını n ile gösterirsek tek sayıda gözlem bulunan veri setinde medyanın sırası (n + 1) / 2 ifadesiyle bulunabilir. Veri sayısı çift olduğunda ise sıralanmış veri setindeki n/2. ve (n/2) + 1. gözlemler belirlenir ve bu iki değerin ortalaması hesaplanır.
Veri sayısı tek olduğunda medyan nasıl hesaplanır?
Aşağıdaki veri setini ele alalım:
9, 19, 20, 22, 17, 15, 8, 12, 8, 4, 6
İlk olarak verileri küçükten büyüğe sıralamamız gerekir:
4, 6, 8, 8, 9, 12, 15, 17, 19, 20, 22
Veri setinde toplam 11 gözlem vardır. Gözlem sayısı tek olduğundan medyanın sırası aşağıdaki gibi bulunur:
Medyanın sırası = (n + 1) / 2
Medyanın sırası = (11 + 1) / 2 = 6
Sıralanmış veri setindeki 6. gözlem 12 olduğuna göre:
Medyan = 12
Bu örnekte medyan, veri setinde gerçekten bulunan gözlemlerden biridir. Sıralanmış 11 gözlemin beşi 12’nin altında, beşi ise 12’nin üzerinde yer almaktadır.
Veri sayısı çift olduğunda medyan nasıl hesaplanır?
Şimdi aşağıdaki sıralanmış veri setini kullanalım:
2, 4, 6, 6, 8, 25, 30, 40
Bu veri setinde sekiz gözlem bulunduğu için tek bir orta gözlem yoktur. Ortada kalan konumlar:
n / 2 = 8 / 2 = 4. gözlem
ve:
(n / 2) + 1 = 5. gözlem
şeklinde belirlenir. Sıralanmış veri setindeki 4. değer 6, 5. değer ise 8’dir. Dolayısıyla medyan bu iki değerin aritmetik ortalamasıdır:
Medyan = (6 + 8) / 2 = 7
Medyanın veri setinde mutlaka gözlenen değerlerden biri olması gerekmez. Bu örnekte veri setinde 7 bulunmamasına rağmen sıralanmış dağılımın orta noktası 7’dir.
N × 0,50 yöntemiyle medyan nasıl bulunur?
Bazı kaynaklarda medyanın konumunu belirlemek için N × 0,50 işlemi kullanılmaktadır. Örneğin 11 gözlem için 11 × 0,50 = 5,5 bulunur ve yüzde 50’lik noktanın ardından gelen 6. gözlem medyan olarak alınır. Bu yaklaşım tek sayıda gözlem bulunan basit veri setlerinde doğru orta konuma ulaşmayı sağlayabilir.
Ancak elde edilen sıra değerinin doğrudan medyan olduğu düşünülmemelidir. Hesaplanan değer yalnızca medyanın sıralamadaki konumunu belirlemeye yardımcı olur. Özellikle veri sayısı çift olduğunda yalnızca N × 0,50 konumundaki değeri almak yeterli değildir; n/2. ve (n/2) + 1. gözlemlerin ortalamasının hesaplanması gerekir.
Frekans tablosundan medyan nasıl hesaplanır?
Frekans tablosunda aynı değerin kaç kez tekrarlandığı gösterilir. Medyanı bulmak için her gözlemi yeniden yazmak zorunlu değildir; toplam frekans ve birikimli frekans kullanılarak orta sıradaki gözlemin hangi değere karşılık geldiği belirlenebilir.
Aşağıdaki frekans tablosunu inceleyelim:
Değer (x) | Frekans (f) | Birikimli frekans |
20 | 3 | 3 |
22 | 2 | 5 |
25 | 1 | 6 |
26 | 4 | 10 |
29 | 2 | 12 |
30 | 3 | 15 |
Toplam | 15 |
Toplam gözlem sayısı 15 olduğundan medyanın sırası:
(15 + 1) / 2 = 8
olarak bulunur. Birikimli frekanslara baktığımızda 25 değerine kadar altı gözlem bulunduğunu, 26 değerinin ise 7., 8., 9. ve 10. gözlemleri oluşturduğunu görürüz. Sekizinci gözlem 26 olduğuna göre:
Medyan = 26
Frekans tablosunda medyanın belirlenmesi, ham verideki yöntemle aynı sıralama mantığına dayanır. Aradaki fark, tekrar eden değerlerin tek tek yazılması yerine frekans ve birikimli frekansların kullanılmasıdır.
Toplam frekans çift olduğunda medyan nasıl bulunur?
Frekans tablosundaki toplam gözlem sayısı çiftse ortadaki iki gözlemin hangi değerlere karşılık geldiği ayrı ayrı belirlenmelidir. Aşağıdaki örnekte toplam 12 gözlem bulunmaktadır:
Değer (x) | Frekans (f) | Birikimli frekans |
10 | 2 | 2 |
15 | 3 | 5 |
20 | 1 | 6 |
24 | 3 | 9 |
30 | 3 | 12 |
Toplam | 12 |
Toplam frekans 12 olduğu için ortadaki konumlar 6. ve 7. gözlemlerdir. Birikimli frekans tablosuna göre 6. gözlem 20, 7. gözlem ise 24 değerine karşılık gelmektedir. Bu iki değer farklı olduğu için medyan:
Medyan = (20 + 24) / 2 = 22
olarak bulunur. Ortadaki iki gözlem aynı değere karşılık gelseydi medyan doğrudan o değer olurdu. Bu nedenle çift frekanslı tablolarda yalnızca birikimli frekansın toplamın yarısına ulaştığı satırı almak her zaman doğru sonuç vermeyebilir.
Gruplandırılmış frekans tablosundan medyan nasıl hesaplanır?
Gruplandırılmış frekans tablosunda tek tek gözlem değerleri yerine belirli sınıf aralıkları verilir. Ham değerler bilinmediğinden medyanın kesin değeri çoğunlukla belirlenemez; medyan sınıfı tespit edilir ve sınıf içerisindeki dağılımın yaklaşık olarak düzenli olduğu varsayılarak tahmini bir medyan hesaplanır.
Aşağıdaki tabloyu ele alalım:
Puan aralığı | Frekans (f) | Birikimli frekans |
1–10 | 3 | 3 |
11–20 | 4 | 7 |
21–30 | 7 | 14 |
31–40 | 6 | 20 |
41–50 | 5 | 25 |
Toplam | 25 |
Öncelikle toplam frekansın yarısı hesaplanır:
N / 2 = 25 / 2 = 12,5
Birikimli frekans 11–20 sınıfında 7, 21–30 sınıfında ise 14’e ulaşmaktadır. Dolayısıyla 12,5. konum 21–30 puan aralığında bulunmaktadır ve bu aralık medyan sınıfıdır.
Gruplandırılmış verilerde yaklaşık medyan için aşağıdaki formül kullanılabilir:
Medyan = L + [(N/2 − F) / fₘ] × h
Bu formülde:
L: Medyan sınıfının gerçek alt sınırı,
N: Toplam frekans,
F: Medyan sınıfından önceki birikimli frekans,
fₘ: Medyan sınıfının frekansı,
h: Sınıf genişliğidir.
Puanların tam sayı olarak ölçüldüğü bu örnekte 21–30 sınıfının gerçek sınırları 20,5–30,5 kabul edilir. Buna göre L = 20,5, N = 25, F = 7, fₘ = 7 ve h = 10 değerleri formüle yerleştirilir:
Medyan = 20,5 + [(12,5 − 7) / 7] × 10
Medyan = 20,5 + 7,86
Medyan ≈ 28,36
Bu sonuç, ham gözlemler bilinmediği için yaklaşık bir medyandır. Medyan sınıfının orta noktası olan 25 veya 25,5 değerini doğrudan medyan kabul etmek doğru değildir; sınıf içindeki medyan konumu birikimli frekans ve enterpolasyon kullanılarak hesaplanmalıdır.
Ham veri, frekans tablosu ve gruplandırılmış tabloda medyan farkı
Üç veri gösteriminde de amaç dağılımın yüzde 50’lik konumunu belirlemektir; ancak kullanılabilecek bilginin ayrıntı düzeyi farklıdır. Ham veride gözlemlerin tamamı bilindiği için kesin medyan hesaplanabilirken gruplandırılmış veride yalnızca sınıf aralıkları bilindiğinden elde edilen medyan yaklaşık bir değerdir.
Veri biçimi | Kullanılan yöntem | Sonucun niteliği |
Ham veri | Veriler sıralanır, ortadaki gözlem veya gözlemler alınır | Kesin medyan |
Frekans tablosu | Toplam ve birikimli frekansla orta gözlem bulunur | Kesin medyan |
Gruplandırılmış frekans tablosu | Medyan sınıfı ve enterpolasyon formülü kullanılır | Yaklaşık medyan |
Bu ayrım özellikle araştırma raporlarında önemlidir. Ham veri mevcutken gruplandırılmış tablo üzerinden yaklaşık medyan hesaplamak yerine doğrudan ham gözlemlerin kullanılması daha doğru sonuç verir.
Sıralı kategorik verilerde medyan bulunabilir mi?
Medyanın hesaplanabilmesi için verilerin en azından anlamlı biçimde sıralanabilmesi gerekir. Memnuniyet düzeyinin “çok düşük, düşük, orta, yüksek, çok yüksek” şeklinde ölçüldüğü bir değişkende kategoriler doğal bir sıraya sahip olduğundan ortadaki kategori belirlenebilir. Buna karşılık bölüm, medeni durum, şehir veya kan grubu gibi sırasız nominal kategoriler için medyan hesaplamak anlamlı değildir.
Sıralı kategorilere 1, 2, 3, 4 ve 5 gibi kodlar verilmişse medyanın hangi kategoriye karşılık geldiği belirtilmelidir. Örneğin medyan kodu 4 olarak bulunmuşsa yalnızca “Medyan = 4” yazmak yerine bu değerin “yüksek” kategorisini temsil ettiği açıklanmalıdır.
Excel’de medyan nasıl hesaplanır?
Veriler Excel’de A2 ile A12 hücreleri arasında bulunuyorsa Türkçe Excel sürümünde aşağıdaki formül kullanılabilir:
=ORTANCA(A2:A12)
İngilizce Excel sürümünde aynı işlem:
=MEDIAN(A2:A12)
formülüyle gerçekleştirilir. Excel boş hücreleri genellikle hesaba katmaz; ancak sıfır değeri bulunan hücreleri geçerli gözlem olarak değerlendirir. Bu nedenle eksik verilerin yanlışlıkla sıfır olarak girilmediğinden emin olunmalıdır.
SPSS’te medyan nasıl hesaplanır?
SPSS’te bir değişkenin medyanını bulmak için Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies yolu izlenebilir. Medyanı hesaplanacak değişken sağ taraftaki alana aktarıldıktan sonra Statistics düğmesine tıklanır ve Median seçeneği işaretlenir. Analiz çalıştırıldığında Statistics tablosunda geçerli gözlem sayısı, eksik veri sayısı ve medyan değeri görüntülenir.
IBM’in SPSS Frequencies açıklamasında da sıralanmış geçerli gözlem sayısı çift olduğunda medyanın ortadaki iki gözlemin ortalaması olarak hesaplandığı belirtilmektedir. SPSS’in medyan hesaplamasına ilişkin ayrıntılar IBM Frequencies Statistics sayfasında görülebilir.
Medyan hesaplanırken yapılan yaygın hatalar
En yaygın hata, verileri sıralamadan veri listesinin görünürdeki orta değerini medyan kabul etmektir. Medyan gözlem değerlerinin yazılış sırasına değil, küçükten büyüğe sıralandıktan sonraki konumlarına göre belirlenir. Veri sayısı çift olduğunda yalnızca ortadaki değerlerden birini almak da yanlış sonuç verir; iki orta değerin aritmetik ortalaması hesaplanmalıdır.
Frekans tablosunda toplam frekans yerine değer sayısını kullanmak, birikimli frekansı yanlış oluşturmak ve gruplandırılmış tabloda medyan sınıfının orta noktasını doğrudan medyan olarak kabul etmek diğer önemli hatalardır. Ayrıca SPSS veya Excel’de eksik değerlerin sıfır olarak kodlanması gerçek veri dağılımını değiştirerek medyanın yanlış hesaplanmasına neden olabilir.
Medyan araştırmalarda nasıl raporlanır?
Çarpık dağılan sürekli değişkenlerde medyan çoğunlukla birinci ve üçüncü çeyrek veya çeyrekler arası aralıkla birlikte raporlanır. Örneğin bir ölçek puanının medyanı 18, birinci çeyreği 12 ve üçüncü çeyreği 26 ise sonuç “Medyan = 18, Q1–Q3 = 12–26” şeklinde sunulabilir. Çeyrekler arası aralık fark olarak raporlanacaksa ÇAA = 26 − 12 = 14 değeri de belirtilebilir.
Yalnızca medyanı vermek dağılımın ne kadar geniş olduğunu göstermez. Bu nedenle tez ve makalelerde kullanılan gösterim biçimi açıkça tanımlanmalı; tablonun açıklamasında değerlerin medyan, çeyrekler veya minimum–maksimum değerleri temsil edip etmediği belirtilmelidir.
Medyan hesaplamayla ilgili sık sorulan sorular
Medyan ile ortanca aynı şey midir?
Evet. Medyan ve ortanca istatistikte aynı merkezi eğilim ölçüsünü ifade eder. Her ikisi de sıralanmış veri setinin merkezindeki konumu gösterir.
Medyanın veri setinde bulunması gerekir mi?
Hayır. Gözlem sayısı çift olduğunda ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması alındığı için medyan veri setinde bulunmayan bir sayı olabilir. Örneğin 6 ve 8’in ortasında bulunan medyan 7’dir.
Tek gözlem varsa medyan nedir?
Veri setinde yalnızca bir gözlem varsa medyan bu gözlemin kendisidir. Bununla birlikte tek gözlemden elde edilen merkezi eğilim ölçüsünün araştırma açısından sınırlı bilgi sunduğu unutulmamalıdır.
Tekrar eden değerler medyanı etkiler mi?
Evet. Tekrar eden her değer ayrı bir gözlem olarak sıralamadaki yerini alır ve medyanın konumunu değiştirebilir. Frekans tablosunda da değerlerin kaç kez tekrarlandığı bu nedenle dikkate alınır.
Medyan ile yüzde 50’lik değer aynı mıdır?
Medyan, dağılımın yüzde 50’lik konumuyla veya 50. persentille yakından ilişkilidir. Ancak farklı yazılımlar ve yüzdelik hesaplama yöntemleri özellikle küçük ya da gruplandırılmış veri setlerinde farklı enterpolasyon kuralları kullanabilir.
Sonuç
Medyan nasıl hesaplanır sorusunun cevabı veri setinin sunuluş biçimine göre değişir. Ham verilerde gözlemler sıralanır ve ortadaki konum belirlenir; frekans tablolarında birikimli frekanstan yararlanılır; gruplandırılmış frekans tablolarında ise medyan sınıfı belirlendikten sonra enterpolasyon formülüyle yaklaşık bir değer hesaplanır.
Hesaplama sırasında verilerin sıralanması, toplam gözlem sayısının doğru belirlenmesi ve tek–çift gözlem ayrımının yapılması temel adımlardır. Medyanın aritmetik ortalamadan hangi yönleriyle ayrıldığını görmek için aritmetik ortalama rehberimizi, merkezi eğilim ölçülerinin genel yapısı için ise merkezi eğilim ölçüleri yazımızı inceleyebilirsiniz.
Araştırmanızda kullanılacak betimsel istatistiklerin belirlenmesi, SPSS analizlerinin yapılması veya sonuçların tez ve makale biçiminde raporlanması konusunda desteğe ihtiyaç duyuyorsanız istatistiksel analiz danışmanlığı hizmetimizin kapsamına göz atabilirsiniz.
