Kovaryans nedir? Korelasyon ile farkı ve hesaplama örneği
Güncelleme tarihi: 3 gün önce
Kovaryans nedir? Kovaryans, iki sayısal değişkenin kendi ortalamalarından sapmalarının birlikte nasıl değiştiğini gösteren bir ölçüdür. Pozitif kovaryans aynı yönde, negatif kovaryans ise ters yönde değişme eğilimine işaret eder. Ancak kovaryansın büyüklüğü ölçüm birimlerinden etkilendiği için, tek başına ilişkinin güçlü veya zayıf olduğunu söylemek için yeterli değildir.
Örneğin öğrencilerin çalışma süreleri ile sınav puanları arasındaki ilişkiyi inceleyelim. Ortalamadan daha uzun çalışan öğrencilerin puanları da çoğunlukla ortalamanın üzerindeyse pozitif kovaryans elde edilebilir. Çalışma süresini saat yerine dakika olarak yazdığımızda ise aynı öğrenciler ve aynı ilişki için farklı bir kovaryans değeri hesaplanır.
Bu yazıda kovaryansın nasıl hesaplandığını ve Pearson korelasyonuyla ilişkisini örnek üzerinden açıklıyoruz. İlişkinin yönü ve grafiklerle yorumlanması hakkında temel bilgi için korelasyon nedir? Pozitif ve negatif korelasyon örnekleri yazımızı inceleyebilirsiniz.
Kovaryans neyi gösterir?
Kovaryansın hesaplanmasında her gözlemin kendi değişkeninin ortalamasından ne kadar uzaklaştığı bulunur. Ardından aynı kişiye veya birime ait iki sapma birbiriyle çarpılır. İki sapmanın aynı işaretli olması pozitif, farklı işaretli olması negatif çarpım üretir.
Örneğin bir öğrencinin hem çalışma süresi hem sınav puanı ortalamanın üzerindeyse iki pozitif sapma çarpılır. Her ikisi de ortalamanın altındaysa iki negatif sapmanın çarpımı yine pozitiftir. Çalışma süresi ortalamanın üzerindeyken puanı ortalamanın altındaysa çarpım negatif olur. Kovaryans, bütün gözlemlerden gelen bu katkıları birlikte özetler.
Kovaryansın işareti | Yorumu |
Pozitif | İki değişkenin aynı yönde değişme eğilimi vardır. |
Negatif | İki değişkenin ters yönde değişme eğilimi vardır. |
Sıfır | Ortalamadan sapmaların çarpımları toplamı sıfırdır; doğrusal olmayan bir ilişki yine de bulunabilir. |
Kovaryans, değişkenlerin birlikte değişimini özetler; bir değişkenin diğerine neden olduğunu göstermez. Hesaplama yaklaşımı ve kovaryans matrisi hakkında teknik bilgiye NumPy kovaryans açıklamasından ulaşabilirsiniz.
Kovaryans formülü
Bir örneklemden hesaplanan kovaryansın yaygın formülü şöyledir:
sₓᵧ = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / (n − 1)
Formüldeki semboller:
xᵢ ve yᵢ: Aynı gözleme ait iki değişkenin değerleri.
x̄ ve ȳ: Değişkenlerin aritmetik ortalamaları.
n: Eşleştirilmiş gözlem sayısı.
Σ: Bütün gözlemler için hesaplanan çarpımların toplamı.
Burada her X değerinin doğru Y değeriyle eşleştirilmesi gerekir. Örneğin çalışma süresi bir öğrenciye, sınav puanı başka bir öğrenciye aitse hesaplama araştırılan ilişkiyi yansıtmaz.
Formüldeki n − 1, örneklem kovaryansının hesaplanmasında kullanılır. Sonlu bir evrenin tamamı için kovaryans hesaplanıyorsa evren ortalamaları kullanılır ve toplam, evrendeki birim sayısı olan N’ye bölünür.
Kovaryans nasıl hesaplanır? Adım adım örnek
Hesaplamayı göstermek için üç gözlemden oluşan basit bir veri grubu kullanalım. Bu küçük örnek yalnızca işlem basamaklarını açıklamak içindir.
Gözlem | X | Y |
1 | 1 | 2 |
2 | 2 | 4 |
3 | 3 | 3 |
Önce iki değişkenin ortalamasını hesaplarız:
X ortalaması = (1 + 2 + 3) / 3 = 2
Y ortalaması = (2 + 4 + 3) / 3 = 3
Ardından her değerin kendi ortalamasından sapmasını bulur ve eşleşen sapmaları çarparız.
Gözlem | X − 2 | Y − 3 | Sapmaların çarpımı |
1 | −1 | −1 | 1 |
2 | 0 | 1 | 0 |
3 | 1 | 0 | 0 |
Toplam | 1 |
Üç gözlem bulunduğundan çarpımlar toplamını 3 − 1 = 2 değerine böleriz:
Örneklem kovaryansı = 1 / 2 = 0,50
Kovaryans pozitiftir. Bununla birlikte 0,50 değerini doğrudan “orta düzey ilişki” olarak yorumlayamayız. Böyle bir yorum için kovaryansın ölçüm birimlerine ve değişkenlerin yayılımına bağlı olduğunu dikkate almak gerekir.
Kovaryans ile korelasyon arasındaki fark nedir?
Kovaryans ile Pearson korelasyonu birbiriyle bağlantılıdır. Temel fark, Pearson korelasyonunda kovaryansın iki değişkenin standart sapmalarının çarpımına bölünerek standartlaştırılmasıdır. Böylece sonuç ölçüm birimlerinden bağımsız hâle gelir.
Özellik | Kovaryans | Pearson korelasyonu |
Temel işlevi | Birlikte değişimi ölçüm ölçeğine bağlı olarak özetler. | Doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü standartlaştırılmış olarak özetler. |
Değer aralığı | −1 ile +1 arasında olmak zorunda değildir. | Tanımlı olduğunda −1 ile +1 arasındadır. |
Ölçüm birimi | İki değişkenin birimlerinin çarpımıdır. | Birimsizdir. |
Büyüklüğünün yorumu | Ölçüm birimleri ve değişkenlerin yayılımıyla birlikte değerlendirilir. | Araştırma bağlamında doğrusal ilişkinin gücü olarak değerlendirilir. |
İşareti | Birlikte değişimin yönünü gösterir. | Doğrusal ilişkinin yönünü gösterir. |
Buradaki karşılaştırma özellikle Pearson korelasyonu içindir. Spearman gibi sıra temelli katsayıların hesaplama mantığı farklıdır.
Kovaryanstan korelasyon nasıl hesaplanır?
Pearson korelasyon katsayısı aşağıdaki bağıntıyla hesaplanabilir:
r = sₓᵧ / (sₓ × sᵧ)
Burada sₓᵧ örneklem kovaryansını, sₓ ve sᵧ ise değişkenlerin örneklem standart sapmalarını gösterir. Kovaryans ve standart sapmalar aynı eşleştirilmiş gözlemler üzerinden hesaplanmalıdır. Bu bağıntı NumPy Pearson korelasyonu açıklamasında da gösterilmektedir.
Yukarıdaki örnekte her iki değişkenin örneklem standart sapması 1’dir. Dolayısıyla:
r = 0,50 / (1 × 1) = 0,50
Bu örnekte kovaryans ile korelasyonun sayısal olarak eşit çıkmasının nedeni, standart sapmaların birer birim olmasıdır. İki ölçü genel olarak birbirine eşit değildir.
Değişkenlerden birinin bütün değerleri aynıysa standart sapması sıfır olur. Bu durumda formülün paydası sıfır olduğundan Pearson korelasyonu tanımsızdır.
Ölçüm birimi değişirse kovaryans değişir mi?
Evet. Örneğimizdeki X değerlerini 10 ile çarpıp 10, 20 ve 30 olarak yazalım; Y değerleri aynı kalsın. X’in ortalamadan sapmaları da 10 katına çıkacağı için kovaryans 0,50’den 5’e yükselir.
Ancak X’in standart sapması da 1’den 10’a çıkar. Pearson korelasyonu bu nedenle:
r = 5 / (10 × 1) = 0,50
olarak aynı kalır. Verideki ilişki güçlenmemiş, yalnızca X’in ölçeği değişmiştir. Bu nedenle “kovaryansı daha büyük olan iki değişkenin ilişkisi daha güçlüdür” biçiminde genel bir karşılaştırma yapılamaz.
Kovaryansın sıfır olması ilişki olmadığı anlamına gelir mi?
Hayır. Kovaryansın sıfır olması, iki değişken arasında hiçbir ilişki bulunmadığını kanıtlamaz. Bunu görmek için X değerlerinin −2, −1, 0, 1, 2, Y değerlerinin ise 4, 1, 0, 1, 4 olduğunu düşünelim.
Bu örnekte Y = X² biçiminde açık bir ilişki vardır. Buna rağmen simetrik yapı nedeniyle sapmaların çarpımları birbirini dengeler ve kovaryans sıfır çıkar. İki değişkenin standart sapmaları sıfır olmadığı için Pearson korelasyonu da sıfırdır.
Dolayısıyla bir ilişkiyi değerlendirirken yalnızca katsayıya bakmak yeterli değildir. Saçılım grafiği, doğrusal olmayan örüntüleri ve uç gözlemleri fark etmeye yardımcı olur.
Araştırmalarda kovaryans mı, korelasyon mu kullanılmalı?
Amaç iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü anlaşılır bir katsayıyla sunmaksa Pearson korelasyonu kullanılabilir. Kovaryans ise değişkenlerin özgün ölçeklerindeki birlikte değişimin önemli olduğu hesaplamalarda ve çok değişkenli istatistiksel modellerde kullanılır. Bir kovaryans matrisinin köşegeninde değişkenlerin varyansları, diğer hücrelerinde değişken çiftlerinin kovaryansları bulunur.
Ancak her araştırmada Pearson korelasyonu uygun olmayabilir. Değişkenlerin ölçme düzeyi, ilişkinin biçimi, uç değerler ve araştırma tasarımı birlikte değerlendirilmelidir. Yöntem seçimi için Pearson mı Spearman mı kullanılmalı? rehberimizi okuyabilirsiniz.
Pearson yöntemini kullanmaya karar verdiyseniz analiz adımlarını ve çıktıların yorumlanmasını SPSS’te Pearson korelasyon analizi yazımızdan takip edebilirsiniz.
Verileriniz için analiz desteği
Araştırmanızda hangi ilişki ölçüsünün kullanılacağına karar verirken değişkenleri ve araştırma sorularını birlikte incelemek gerekir. İstatistiksel analiz danışmanlığı kapsamında analiz planının oluşturulması ve uygun yöntemlerin belirlenmesi için destek alabilirsiniz.
Verileriniz hazırsa SPSS analizi danışmanlığı hizmetimiz veri kontrolü, analizlerin uygulanması ve bulguların açıklanmasını kapsar. Daha önce hazırlanmış çıktı ve tablolarınızın yöntemsel tutarlılığını değerlendirmek için ise analiz kontrolü ve istatistiksel revizyon sayfamızı inceleyebilirsiniz. Araştırmanızın konusunu ve ihtiyaç duyduğunuz desteği danışmanlık talep formundan iletebilirsiniz.
